szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2015, o 23:52 
Użytkownik

Posty: 38
Lokalizacja: Małopolska
Cześć :)
Mam takie zadanie: Znajdź ciąg, którego funkcja tworząca jest równa:
f \left( x \right)  =  \frac{x}{1-x}

Moje działania:
f \left( x \right)  =  \frac{1}{1-x} = - \left( \frac{1-x}{1-x} - \frac{1}{1-x} \right)  = -1 + \frac{1}{1-x}

I tutaj pojawia się problem, ja bym to zapisał jako:
f \left( x \right)  = -1 +  \sum_{i = 0}^{ \infty } x^i

Ale co dalej?

Edit: Może od razu zapytam o kolejny przykład:
f \left( x \right)  = \frac{1}{1+x^2}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2015, o 00:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1800
Lokalizacja: warszawa
\frac{1}{1+x^2}= \frac{1}{1-(-x^2)}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2015, o 01:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6604
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
\frac{1}{1+x^2}
Ja tutaj pobawiłbym się zespolonym rozkładem

\frac{x}{1-x}

Tutaj nie lepiej zapisać jako

\sum_{n=0}^{ \infty }{x^{n+1}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2015, o 12:09 
Użytkownik

Posty: 38
Lokalizacja: Małopolska
mariuszm napisał(a):
\frac{1}{1+x^2}
Ja tutaj pobawiłbym się zespolonym rozkładem

Na ćwiczeniach mieliśmy chyba właśnie zamianę na \frac{1}{1-(-x^2)}
Ale wtedy tak?
\frac{1}{1-(-x^2)} =  \sum_{i=0}^{ \infty } (-x^2)^n = \sum_{i=0}^{ \infty } (-1)^n * x ^{2n}
I jaka będzie interpretacja tego? Istnieją tylko wyrazy o parzystych numerach? a_{0} = 1,  a_{n} = -a_{n-2}, n>0, tak?


mariuszm napisał(a):
\frac{x}{1-x}

Tutaj nie lepiej zapisać jako

\sum_{n=0}^{ \infty }{x^{n+1}}

O. Ale jak to wtedy zinterpetować w kontekście ciągu rekurencyjnego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2015, o 12:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6604
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
f \left( x \right)  = \frac{1}{1+x^2}\\
\frac{1}{1+x^2}=\frac{A}{1-ix}+\frac{B}{1+ix}\\
\frac{1}{1+x^2}=\frac{A\left( 1+ix\right)+B\left( 1-ix\right)  }{1+x^2}\\
1=A\left( 1+ix\right)+B\left( 1-ix\right)\\
 \begin{cases} A+B=1\\ \left( A-B\right)i=0  \end{cases}\\
 \begin{cases} A+B=1\\ \left( A-B\right)=0  \end{cases}\\
    \begin{cases} 2A=1\\ B=A  \end{cases}\\
 \begin{cases} A=\frac{1}{2}\\ B=\frac{1}{2}  \end{cases}\\
\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-ix}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\left( -ix\right)^{n} }\\
f_{n}=\frac{1}{2}i^{n}+ \frac{1}{2}\left( -i\right)^{n}\\
f_{n}=\frac{1}{2}\left( \cos{\left( n \cdot  \frac{\pi}{2} \right) }+i\sin{\left( n \cdot  \frac{\pi}{2} \right) }\right)+\frac{1}{2}\left( \cos{\left( n \cdot  \frac{\pi}{2} \right) }-i\sin{\left( n \cdot  \frac{\pi}{2} \right) }\right) \\
  f_{n}=\cos{\left(n \cdot  \frac{\pi}{2} \right) }\\

Dla tej pierwszej funkcji nie widzę nic ciekawszego niż funkcja signum dla naturalnych
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 sty 2015, o 12:59 
Użytkownik

Posty: 14726
Lokalizacja: Bydgoszcz
\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-x^6+x^8+\dots
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja tworzaca  matkus1  14
 funkcja tworząca - zadanie 2  Hyuuga Neji  0
 funkcja tworząca - zadanie 3  kropq  1
 Funkcja tworząca - zadanie 4  napspan  1
 Funkcja tworząca - zadanie 5  ablazowa  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl