szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2015, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Polska
Witam, czy dobrze rozwiązałem zadanie? Jbc to jestem w trakcie nauki liczb zespolonych.

a_{0} = 0, a_{1} = 1, a _{n} = -a _{n-1} - a _{n-2}

Równanie charakterystyczne:

x^{2} + x + 1 = 0

\Delta = -3

\sqrt{\Delta} =  \sqrt{-3} =  \sqrt{ \left( -1 \right)   \cdot  3} =  \sqrt{3}i


x_{1} =  \frac{-1 +  \sqrt{3}i }{2} = - \frac{1}{2} +  \frac{ \sqrt{3} }{2}i

x_{2} =  \frac{-1 -  \sqrt{3}i }{2} = - \frac{1}{2} -  \frac{ \sqrt{3} }{2}i

Podstawiam pod wzór:

a_{n} = A  \cdot   \left( - \frac{1}{2} +  \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n} + B \cdot  \left( - \frac{1}{2} -  \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n}

\begin{cases} a_{0} = A + B \\ a_{1} = A  \cdot   \left( - \frac{1}{2} +  \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right)  + B \cdot  \left( - \frac{1}{2} -  \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right)  \end{cases}

\begin{cases} 0 = A + B \\ 1 = \frac{A}{2} +  \frac{ A\sqrt{3} }{2}i - \frac{B}{2} -  \frac{ B\sqrt{3} }{2}i \end{cases}

\begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = A + A\sqrt{3}i - B - B \sqrt{3}i \end{cases}

\begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = \sqrt{3}i \left( A-B \right) -A-B  \end{cases}

\begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = \sqrt{3}i \left( A-B \right)   \end{cases}

\begin{cases} 0 = A + B \\ \frac{2}{\sqrt{3}i}  = A-B  \end{cases}

\begin{cases} 0 = A + B \\ \frac{2\sqrt{3}}{3i}  = A-B  \end{cases}

A =  \frac{ \sqrt{3} }{3i}, B = - \frac{ \sqrt{3} }{3i}

Rozwiązanie:

a_{n} =  \left( \frac{ \sqrt{3} }{3i} \right)   \cdot   \left( - \frac{1}{2} +  \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n} +  \left( - \frac{ \sqrt{3} }{3i} \right)  \cdot  \left( - \frac{1}{2} -  \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n}

Czuje, że jest źle na 100%, ponieważ jest to moje pierwsze podejście do rozwiązania równania rekurencyjnego przy delcie mniejszej od 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2015, o 22:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6631
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Możesz jeszcze przejść na postać trygonometryczną i powymnażać to co dostałeś

\begin{cases} 0 = A + B \\ 1 = \frac{A}{2} +  \frac{ A\sqrt{3} }{2}i - \frac{B}{2} -  \frac{ B\sqrt{3} }{2}i \end{cases}

Z minusa zrobił ci się plus
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2015, o 22:52 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Polska
Mój błąd... nie zwróciłem uwagi na to. Ale jeśli ogólnie sposób rozwiązywania jest dobry to już jest jakiś tam krok na przód :)

Spróbuję poprawić te równanie jak najszybciej :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2015, o 23:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6631
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Można tak rozwiązywać choć ja rozwiązywałbym inaczej
Metoda z równaniem charakterystycznym tylko z pozoru wydaje się łatwa
Odpowiedz sobie na pytanie co gdyby pierwiastek był wielokrotny
Jak znajdowałbyś rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego gdyby takowe się pojawiło
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rekurencja jednorodna liniowa  MenosGrandes  3
 Rekurencja - 2 zadania  Watari  16
 Rekurencja - metoda przewidywań  Ciddy  0
 Funkcje tworzące, rekurencja a splot ciągów  johnnybsi  15
 rekurencja funkcje tworzace  Gogeta  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl