Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Rekurencja, delta mniejsza od zera

Strona 1 z 1

[ Posty: 4 ]

Autor

Wiadomość

combinev2 Offline

Tytuł: Rekurencja, delta mniejsza od zera

Napisane: 16 sty 2015, o 20:41

Posty: 9
Lokalizacja: Polska

Witam, czy dobrze rozwiązałem zadanie? Jbc to jestem w trakcie nauki liczb zespolonych.

$a_{0} = 0, a_{1} = 1, a _{n} = -a _{n-1} - a _{n-2}$

Równanie charakterystyczne:

$x^{2} + x + 1 = 0$

$\Delta = -3$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-3} = \sqrt{ \left( -1 \right) \cdot 3} = \sqrt{3}i$

$x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{3}i }{2} = - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i$

$x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{3}i }{2} = - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i$

Podstawiam pod wzór:

$a_{n} = A \cdot \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n} + B \cdot \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n}$

$\begin{cases} a_{0} = A + B \\ a_{1} = A \cdot \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) + B \cdot \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ 1 = \frac{A}{2} + \frac{ A\sqrt{3} }{2}i - \frac{B}{2} - \frac{ B\sqrt{3} }{2}i \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = A + A\sqrt{3}i - B - B \sqrt{3}i \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = \sqrt{3}i \left( A-B \right) -A-B \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = \sqrt{3}i \left( A-B \right) \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ \frac{2}{\sqrt{3}i} = A-B \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ \frac{2\sqrt{3}}{3i} = A-B \end{cases}$

$A = \frac{ \sqrt{3} }{3i}$ , $B = - \frac{ \sqrt{3} }{3i}$

Rozwiązanie:

$a_{n} = \left( \frac{ \sqrt{3} }{3i} \right) \cdot \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n} + \left( - \frac{ \sqrt{3} }{3i} \right) \cdot \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n}$

Czuje, że jest źle na 100%, ponieważ jest to moje pierwsze podejście do rozwiązania równania rekurencyjnego przy delcie mniejszej od 0.

Góra

mariuszm Offline

Tytuł: Rekurencja, delta mniejsza od zera

Napisane: 16 sty 2015, o 22:40

Posty: 6631
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Możesz jeszcze przejść na postać trygonometryczną i powymnażać to co dostałeś

$\begin{cases} 0 = A + B \\ 1 = \frac{A}{2} + \frac{ A\sqrt{3} }{2}i - \frac{B}{2} - \frac{ B\sqrt{3} }{2}i \end{cases}$

Z minusa zrobił ci się plus

Góra

combinev2 Offline

Tytuł: Rekurencja, delta mniejsza od zera

Napisane: 16 sty 2015, o 22:52

Posty: 9
Lokalizacja: Polska

Mój błąd... nie zwróciłem uwagi na to. Ale jeśli ogólnie sposób rozwiązywania jest dobry to już jest jakiś tam krok na przód

Spróbuję poprawić te równanie jak najszybciej

Góra

mariuszm Offline

Tytuł: Rekurencja, delta mniejsza od zera

Napisane: 16 sty 2015, o 23:51

Posty: 6631
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Można tak rozwiązywać choć ja rozwiązywałbym inaczej
Metoda z równaniem charakterystycznym tylko z pozoru wydaje się łatwa
Odpowiedz sobie na pytanie co gdyby pierwiastek był wielokrotny
Jak znajdowałbyś rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego gdyby takowe się pojawiło

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 4 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Rekurencja jednorodna liniowa	MenosGrandes	3
Rekurencja - 2 zadania	Watari	16
Rekurencja - metoda przewidywań	Ciddy	0
Funkcje tworzące, rekurencja a splot ciągów	johnnybsi	15
rekurencja funkcje tworzace	Gogeta	1

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]