Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Rekurencja, delta mniejsza od zera

Strona 1 z 1

[ Posty: 4 ]

Autor

Wiadomość

combinev2 Offline

Tytuł: Rekurencja, delta mniejsza od zera

Napisane: 16 sty 2015, o 20:41

Posty: 9
Lokalizacja: Polska

Witam, czy dobrze rozwiązałem zadanie? Jbc to jestem w trakcie nauki liczb zespolonych.

$a_{0} = 0, a_{1} = 1, a _{n} = -a _{n-1} - a _{n-2}$

Równanie charakterystyczne:

$x^{2} + x + 1 = 0$

$\Delta = -3$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-3} = \sqrt{ \left( -1 \right) \cdot 3} = \sqrt{3}i$

$x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{3}i }{2} = - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i$

$x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{3}i }{2} = - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i$

Podstawiam pod wzór:

$a_{n} = A \cdot \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n} + B \cdot \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n}$

$\begin{cases} a_{0} = A + B \\ a_{1} = A \cdot \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) + B \cdot \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ 1 = \frac{A}{2} + \frac{ A\sqrt{3} }{2}i - \frac{B}{2} - \frac{ B\sqrt{3} }{2}i \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = A + A\sqrt{3}i - B - B \sqrt{3}i \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = \sqrt{3}i \left( A-B \right) -A-B \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ 2 = \sqrt{3}i \left( A-B \right) \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ \frac{2}{\sqrt{3}i} = A-B \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = A + B \\ \frac{2\sqrt{3}}{3i} = A-B \end{cases}$

$A = \frac{ \sqrt{3} }{3i}$ , $B = - \frac{ \sqrt{3} }{3i}$

Rozwiązanie:

$a_{n} = \left( \frac{ \sqrt{3} }{3i} \right) \cdot \left( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n} + \left( - \frac{ \sqrt{3} }{3i} \right) \cdot \left( - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n}$

Czuje, że jest źle na 100%, ponieważ jest to moje pierwsze podejście do rozwiązania równania rekurencyjnego przy delcie mniejszej od 0.

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018

Góra

mariuszm Offline

Tytuł: Rekurencja, delta mniejsza od zera

Napisane: 16 sty 2015, o 22:40

Posty: 6604
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Możesz jeszcze przejść na postać trygonometryczną i powymnażać to co dostałeś

$\begin{cases} 0 = A + B \\ 1 = \frac{A}{2} + \frac{ A\sqrt{3} }{2}i - \frac{B}{2} - \frac{ B\sqrt{3} }{2}i \end{cases}$

Z minusa zrobił ci się plus

Góra

combinev2 Offline

Tytuł: Rekurencja, delta mniejsza od zera

Napisane: 16 sty 2015, o 22:52

Posty: 9
Lokalizacja: Polska

Mój błąd... nie zwróciłem uwagi na to. Ale jeśli ogólnie sposób rozwiązywania jest dobry to już jest jakiś tam krok na przód

Spróbuję poprawić te równanie jak najszybciej

Góra

mariuszm Offline

Tytuł: Rekurencja, delta mniejsza od zera

Napisane: 16 sty 2015, o 23:51

Posty: 6604
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Można tak rozwiązywać choć ja rozwiązywałbym inaczej
Metoda z równaniem charakterystycznym tylko z pozoru wydaje się łatwa
Odpowiedz sobie na pytanie co gdyby pierwiastek był wielokrotny
Jak znajdowałbyś rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego gdyby takowe się pojawiło

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 4 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Wzór jawny rekurencja	matrix2000	4
Rekurencja liniowa - zadanie 2	ktoslos	2
Rekurencja, silnia, ciąg. - zadanie 2	spedeer2007	2
Rekurencja ciągu ternarnego	math_is_killing_me	3
Rekurencja niejednorodna - problem	prezes123	2

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]