szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2015, o 00:15 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Wrocław
Ostatnio nie udało mi się rozwiązać zadania tego typu. Kolega próbował mi wytłumaczyć pokazując na szybko jak on to zrobił ale coś mi nie pasuje.

jemu delta wyszła 9 co tak napisał z pamięci, a x1, i x2 walnął: x1=-2 a x2=1

Zadanie wyglądało na starcie tak:

S{n}= S{n-1}  +2 S{n-2}

S{0} = 3 ; a S{1} = 6

Trzeba było ogarnąć S3 i S4, co mi wyszło:
S{3}  = 12 ; S{4}  = 24

I to w sumie tyle co zrobiłem bo nie zdążyłem reszty.

Rozumiem że trzeba pierwiastki wyliczyć, no to leci delta i a=1; b=-1; c=2

Mam poprawę i próbuje to zadanie sobie przyswoić, a coś mi nie wychodzi bo po obliczeniach wyszło mi X{1} =  \frac{1+ \sqrt{9}}{2} No i wiadomo że X{2} =  \frac{1- \sqrt{9}}{2}.

Nie wiem skąd ten kolega wziął pełne liczby czyli te -2 i 1 i nie wiem jak dalej to doprowadzić do sensownego końca.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 17 sty 2015, o 00:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13139
Lokalizacja: Wrocław
Równanie charakterystyczne: t^{2}-t-2=0
Wyliczamy jego rozwiązania ulubioną metodą, dostając t_{1}=-1, t_{2}=2 (możesz np. zwinąć do postaci kanonicznej i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, przeliczyć deltę lub skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu).
A zatem rozwiązanie rekurencji będzie postaci S_{n}=A(-1)^{n}+B2^{n}.
Podstawiając n=2 mamy S_{2}=A+4B, zaś kładąc n=3, uzyskujemy S_{3}=-A+8B. No a teraz wyliczamy z podanych warunków początkowych S_{2} oraz S_{3} (wcale nie potrzebujesz do niczego S_{4}): z zależności rekurencyjnej i znanych, bo podanych wartości S_{0}, S_{1} mamy S_{2}=S_{1}+2S_{0}=12
oraz S_{3}=2S_{2}+S_{1}=30. I dostajesz układ równań:
\begin{cases} 12= A+4B\\ 30=-A+8B\end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2015, o 08:54 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Wrocław
No ok, dziękuje ale wciąż nie wiem jak wyliczyć te x1 i x2, by były takie wyniki jak podałeś i jak ten kolega miał. Jak pisałem. Za pomocą delty wyszły mi takie koszmarki. Rzeczy które pisałeś w nawiasie z tymi sposobami wyliczenia wrzucałem do google i szukałem sobie wzorów czy coś ale nie wychodziło mi nic dobrego.

Z postaci kanonicznej wyszło mi:
dla p \frac{1}{2} a dla q \frac{-9}{4}. Chyba że mam to obliczyć z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu, a za d dać 0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2015, o 09:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6635
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
s_{n}= s_{n-1}  +2 s_{n-2}

s_{0} = 3 ; a s_{1} = 6

Nie lepiej w ten sposób

S\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^n}\\
 \sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}= \sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n-1}x^{n}}+2\sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n-2}x^{n}}\\
 \sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}= x\sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n-1}x^{n-1}}+2x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n-2}x^{n-2}}\\
 \sum_{n=2}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}= x\sum_{n=1}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}+2x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}-6x-3=x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}-3\right)+2x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}\\
S\left( x\right)-6x-3=x\left( S\left( x\right)-3 \right)+2x^2S\left( x\right) \\
S\left( x\right)-6x-3=xS\left( x\right)-3x+2x^2S\left( x\right)\\
S\left( x\right)-xS\left( x\right)-2x^2S\left( x\right)=-3x+6x+3\\
S\left( x\right)\left( 1-x-2x^2\right)=3x+3\\
S\left( x\right)=\frac{3x+3}{1-x-2x^2} \\
S\left( x\right)=\frac{3}{1-2x}\\
s_{n}=3 \cdot 2^{n}


Premislav napisał(a):
oraz S_{3}=2S_{2}+S_{1}=30. I dostajesz układ równań:
\begin{cases} 12= A+4B\\ 30=-A+8B\end{cases}


Układ równań lepiej było napisać na podstawie danych warunków początkowych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2015, o 09:37 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Wrocław
Może i lepiej ale tego wyżej kompletnie nie znam xD Chyba raczej muszę robić tak jak to wyglądało na ćwiczeniach... kiedyś tam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2015, o 09:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6635
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Mardax, więcej widać jak rozwiązujesz w ten sposób ,
np wiadomo co z pierwiastkami wielokrotnymi a także co z rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego

Jako ćwiczenie spróbuj rozwiązać takie równanie

a_{n}=-6a_{n-1}+50a_{n-3}+45a_{n-4}-108a_{n-5}-108a_{n-6}\\+\left( n^2+4n+1\right) \cdot \left( -1\right)^n  +3 \cdot 2^{n}+\left( 2n+1\right) \cdot \left( -3\right)^{n}+3n+5
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzór na ilość krawędzi w "grafie pełnym najbliżej"  Kubaz  8
 znaleźć wzór i go udowodnić  MrRipley  5
 wzór newtona  net  1
 Grafy i rekurencja.  darcklord  0
 Rekurencja niejednorodna - problem  prezes123  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl