szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2015, o 13:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5
Lokalizacja: google maps
Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB, w którym przyprostokątna |AC|=10 oraz \sin \spherangle BAC=13. Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.

więc narysowałem trójkąt z k. prostym przy C i kątem alfa przy A
podane jest, że |AC|=10, a z tego co pamiętam przeciwprostokątna prostokątnego jest średnicą opisanego na nim okręgu, więc |AB|=2R

z twierdzenia sin mamy: \frac{a}{\sin \alpha}=2R

czyli \frac{10}{ \frac{1}{3} }=30=2R

R=15

czyli pole tego koła = 225 \pi

Niestety matmatura.net rozwiązuje to z Pitagorasem i wynik jest trochę inny \left(  \frac{15 \sqrt{2}}{4}  \right)

czy mógłby mi ktos wyjaśnić czy/dlaczego moj sposób jest poprawny/blędny?

dzięki :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2015, o 13:49 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Źle korzystasz tw. sinusów. Jak jest \frac{a}{\sin\alpha} to ten kąt we wzorze leży naprzeciwko boku. A tutaj jest tak, że bok zawiera się w ramieniu kąta. Trzeba wziąć inny bok albo inny kąt.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2015, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 2001
Lokalizacja: Warszawa
Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie długości przeciwprostokątnej (wiesz, dlaczego?).

Napis
\sin \angle BAC=13

jest nieprawdziwy, bo sinus dowolnego kąta nie może być większy od 1.

Załóżmy, że znamy ten kąt. Oznaczmy go jako \alpha

Wówczas

\left| BC\right|=\left| AB\right|\sin \alpha

Z tw. Pitagorasa mamy

\left| AB\right|^2=\left| BC\right|^2+\left| AC\right|^2 = \left| AB\right|^2\sin^2 \alpha+ \left| AC\right|^2

\left| AB\right|^2\left( 1-\sin^2\alpha\right)=\left| AC\right|^2

\left| AB\right|= \frac{\left| AC\right| }{\cos \alpha}

No to

r= \frac{1}{2} \left| AB\right|= \frac{1}{2} \cdot  \frac{\left| AC\right| }{\cos \alpha}

:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2015, o 15:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5
Lokalizacja: google maps
w miejscu 13 powinno byc 1/3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2015, o 20:33 
Użytkownik

Posty: 2001
Lokalizacja: Warszawa
Jeśli tak, to \sin \alpha= \frac{1}{3}

No to z jedynki trygonometrycznej mamy

\cos \alpha = \sqrt{1- \sin ^2\alpha}=2 \frac{ \sqrt{2} }{3}

No i

r= \frac{1}{2} \left| AB\right|= \frac{1}{2} \cdot \frac{\left| AC\right| }{\cos \alpha}=  \frac{1}{2}\cdot  \frac{10}{2 \frac{ \sqrt{2} }{3}}=  \frac{15}{2 \sqrt{2} }= \frac{15 \sqrt{2} }{4}

:)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 pole koła opisanego na trójkącie  katrin_17  1
 pole koła opisanego na trojkacie  mrowkazzzzz  2
 Pole koła opisanego na trójkącie - zadanie 2  Mr Minio  1
 pole koła opisanego na trójkącie - zadanie 3  f88  2
 pole koła opisanego na trójkacie  mrowkazzzzz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl