szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2015, o 14:27 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: Zielona Góra
Czy istnieje jakiś prosty wzór na funkcje dzeta określoną w argumentach w przedziale 0<Re(z)<1 ?

-- 23 sty 2015, o 15:23 --

czy to prawda, że zera funkcji eta pokrywają się z zerami funkcji zeta?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2015, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
\eta(z) = (1-2^{1-z})\zeta(z)
Widać, że tam gdzie zeta ma zero, eta też ma zero ponieważ jest tylko pomnożenie przez jakąś liczbę.

Trzeba jeszcze sprawdzić czy eta ma jakieś zera w punktach, w których zeta ich nie ma. Jedyny kandydat to z=1, wtedy ten nawias się zeruje, ale \zeta(1) nie jest określona i nie obliczysz z tego wzoru \eta(1).

Można natomiast skorzystać z \eta(z) =  \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n^{z}}
Do tego wzoru akurat jedynkę można podstawić i wychodzi na to, że \eta(1) = \ln(2)

Czyli eta nie ma zera w jedynce, wszystkie jej zera są tam gdzie są zera zety. Rzeczywiście więc można powiedzieć że "się pokrywają".

A z tym prostym wzorem to owszem, można wziąć postać bez Gammy Eulera.
\zeta(z) = \frac{1}{(1-2^{1-z})}\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n^{z}}

To wynika z przekształcenia tamtej pierwszej zależności. Wzór obowiązuje tam gdzie obowiązuje wzór na etę (w tej postaci z szeregiem) czyli Re(z) > 0, przy czym jedynki nie można podstawić bo się mianownik wyzeruje (ale to jest ok, bo \zeta(1) nie jest określona). Zatem wzór działa nawet w szerszym zakresie niż chcesz.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl