szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lut 2015, o 13:45 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: krk
Witam :)
Mam problem z jednym zadaniem i nie mam pojęcia w jaki sposób sie do niego zabrać.

Dane są punkty A (1,2,0), B (-1,0,1), C(0,1,1). Wyznacz płaszczyznę.przechodzącą przez te punkty i prostą prostopadla do tej płaszczyzny, a przechodzącą przez punkt D(1,1,1). Wyliczylam iloczyn wektorowy AB \times CB (1,1,0), podstawilam do rownania prostej punkt A, co dało 1(x-1)+1(y-2)+0z=0, ca daje równanie prostej, nie płaszczyzny. Co zrobilam źle, ewentualnie co robić dalej w takiej sytuacji?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2015, o 14:02 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Liczysz iloczyn wektorowy
\vec{AB}\times\vec{AC}=[-1,-1,0].
Wektor ten możesz traktować jako wektor normalny szukanej płaszczyzny.
Piszemy to równanie
-x-y+D=0.
Wstawiamy choćby współrzędne punktu A i dostajemy
-1-2+D=0
co ostatecznie daje nam równanie szukanej płaszczyzny
-x-y+3=0
Równanie prostej znajdziesz z łatwością mając współrzędne punktu D i wektor kierunkowy prostej, którym będzie znaleziony wektor normalny płaszczyzny.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lut 2015, o 14:10 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: krk
Ale co jesli wspolrzedne punktu odnoszą się do 3wymiarów, a moja. płaszczyzna jest chyba prostą, a w każdym razie w wektorze kierunkowym jako trzecie stoi zero?

-- 2 lut 2015, o 14:36 --

Ale co jesli wspolrzedne punktu odnoszą się do 3wymiarów, a moja. płaszczyzna jest chyba prostą, a w każdym razie w wektorze kierunkowym jako trzecie stoi zero?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2015, o 14:44 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Wcale nie dostałaś równania prostej, tylko równanie płaszczyzny x+y-3=0 (zresztą dokładnie takie samo jak ja).
Równanie płaszczyzny w przestrzeni ma postać
Ax+By+Cz+D=0
gdzie nie wszystkie współczynniki A,B,C są jednocześnie równe zeru.

W Twoim przypadku po prostu współczynnik C=0, co oznacza jedynie, że dostaliśmy równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny Oxy, albo ja kto woli, prostopadłej do osi Oz.
W przestrzeni jedno równanie liniowe zawsze opisuje płaszczyznę.

Aby otrzymać prostą należy mieć np. równania dwóch przecinających się płaszczyzn (postać krawędziowa) albo trzy równania z parametrem (postać parametryczna).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lut 2015, o 15:20 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: krk
Czyli jeżeli mam wektor normalny [-1;-1;0] i punkt (1;1;1),
To wystarczy podstawic to do postaci parametrycznej:
X=1-t\\
Y=1-t\\
Z=1
I to pełne rozwiązanie?
Jak w takim razie wygladalaby postać kanoniczna, bo jesli mianownikami są współrzedne wektora normalnego, to jeden z nich musiałby być zerem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2015, o 19:02 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Odpowiadam po powrocie do domu z pracy, stąd opóźnienie. :)
To co napisałaś to jest równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny.
Wykorzystałaś wektor normalny płaszczyzny jako wektor kierunkowy prostej, do napisania postaci parametrycznej prostej.
Prosta w przestrzeni nie ma postaci kanonicznej!

Może troszkę uporządkujmy:
równanie kanoniczne płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0,\ A^2+B^2+C^2>0. Ten warunek z kwadratami gwarantuje nam, że nie wszystkie współczynniki A,B,C są jednocześnie równe zero.
Mając to równanie kanoniczne mamy od razu współrzędne tzw. wektora normalnego (czyli prostopadłego do płaszczyzny) \vec{n}=[A,B,C], i na odwrót, jeżeli masz współrzędne jakiegoś wektora prostopadłego do płaszczyzny, to masz od razu współczynniki [A,B,C].
Dlatego obliczając iloczyn wektorowy wektorów \vec{AB},\vec{AC} otrzymujesz wektor prostopadły do płaszczyzny, który może być wektorem normalnym.
Dzięki temu równanie płaszczyzny w postaci kanonicznej mogliśmy zapisać jako
1x+1y+0z+D=0.
Ale do tej płaszczyzny mają należeć wszystkie punkty A,B,C, stąd ich współrzędne muszą spełniać to równanie.
Dlatego możemy podstawić współrzędne dowolnego z tych punktów, podstawiamy np. współrzędne A, i stąd wyliczamy współczynnik D.
Ostatecznie dostaliśmy równanie kanoniczne płaszczyzny postaci
-x-y+3=0.

Prosta w przestrzeni nie ma równania kanonicznego!

Możesz wykorzystać wektor kierunkowy prostej i punkt do niej należący do napisania równania parametrycznego - to właśnie zrobiłaś.

Czyli w Twoim przypadku zapiszesz (używając współrzędnych wektora kierunkowego prostej (czyli normalnego płaszczyzny) i punktu przez który ma przechodzić prosta
\begin{cases}x=1-t\\y=1-t\\z=1\end{cases}

A zatem zrobiłaś prawie całe zadanie, tylko gubisz się w pojęciach. Poczytaj o tym, jak wyglądają różne postacie równań płaszczyzny i prostej, najlepiej sięgnij po notatki z wykładu lub podręcznik, bo taki kwiatek jak równanie kanoniczne prostej w przestrzeni to od razu "pała".
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 cze 2015, o 21:27 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Hamburg
chris_f napisał(a):
Wcale nie dostałaś równania prostej, tylko równanie płaszczyzny x+y-3=0 (zresztą dokładnie takie samo jak ja).
Równanie płaszczyzny w przestrzeni ma postać
Ax+By+Cz+D=0
gdzie nie wszystkie współczynniki A,B,C są jednocześnie równe zeru.

W Twoim przypadku po prostu współczynnik C=0, co oznacza jedynie, że dostaliśmy równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny Oxy, albo ja kto woli, prostopadłej do osi Oz.


Gwoli scislosci:
jest oczywiscie dokladnie odwrotnie: C=0 oznacza rownanie plaszczyzny prostopadlej do Oxy , czyli rownoleglej do osi Oz :wink: .
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rzut pkt na prostą..  johanneskate  10
 Okrag i prosta  Simong  3
 sprawdzic czy uklad okresla prosta w przestrzeni R^4  apsik  0
 prosta prostopadła o rownaniu...jest okreslona wzorem  migota12385  1
 Znajdz prosta styczna do krzywej zadanej parametrycznie - zadanie 2  karl153  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl