szukanie zaawansowane
 [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 lut 2015, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Polska
Czy funkcje f(x) = \ln (x) : R^{+} \rightarrow R i g(x) = \cos x : R \rightarrow [-1,1] są elementami przestrzeni R ^{R} ? Dlaczego?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 08:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Elementy przestrzeni \mathbb R ^{\mathbb R} z punktu widzenia teorii mnogości to funkcje \mathbb R \to \mathbb R, więc f nie należy, zaś g należy do niej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 08:30 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Moim zdaniem żadna z nich do niej nie należy, ale to już kwestia dyskusyjna jest. Dla mnie funkcja to trójka uporządkowana, np:
(\cos, \RR, [-1,1]) \in [-1,1]^{\RR}
Więc z punktu widzenia takiego podejścia, formalnie nie jest to element \RR^\RR. Oczywiście można zanurzyć przestrzeń [-1,1]^{\RR} w \RR^\RR i poprzez odpowiednie utożsamienie traktować to jako funkcję \RR^\RR; jednak gubimy wówczas ważne informacje o funkcji. Traktując \cos jako funkcję z \RR^\RR gubimy informację o jej surjektywności, pisząc zaś ją jako element zbioru [-1,1]^{\RR}, wiemy że jest surjekcją.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 08:40 
Użytkownik

Posty: 352
Lokalizacja: Polska
Standardowo X^Y jest przestrzenią funkcji o dziedzinie Y oraz o wartościach w X, więc jest tak jak mówi Medea 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 08:52 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
ZF+GCH napisał(a):
Standardowo X^Y jest przestrzenią funkcji o dziedzinie Y oraz o wartościach w X, więc jest tak jak mówi Medea 2.


Ale g ma wartości w [-1,1]. Oczywiście jest to zawarte w \RR, ale wówczas jest to inna funkcja.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 09:06 
Użytkownik

Posty: 352
Lokalizacja: Polska
Taka przestrzeń nie ma być przestrzenią suriekcji. Dlatego celowo napisałem "o dziedzinie Y oraz o wartościach w X", nie zaś "o zbiorze wartości X". Rozumiem szukanie nieścisłości w zadanym pojęciu, ale to jest dość standardowa przestrzeń, definiowana właśnie w taki sposób.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 09:08 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
ZF+GCH napisał(a):
Taka przestrzeń nie ma być przestrzenią suriekcji. Dlatego celowo napisałem "o dziedzinie Y oraz o wartościach w X", nie zaś "o zbiorze wartości X". Rozumiem szukanie nieścisłości w zadanym pojęciu, ale to jest dość standardowa przestrzeń, rozumiana właśnie w taki sposób.


U mnie definicja była taka:
Y^X = \{ f : X \rightarrow Y \}
(oczywiście opisana ładnie słowami ;) ) I tu konkretnie było Y, a nie jakiś podzbiór Y. Dlatego g z tego przykładu nie należy do \RR^\RR, gdyż g : \RR \rightarrow [-1,1] a nie g : \RR \rightarrow \RR.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 09:17 
Użytkownik

Posty: 352
Lokalizacja: Polska
Dokładnie tak wysłowiłem tę przestrzeń. No a co to jest funkcja f \colon X \to Y? Pozbiór X \times Y zawierający elementy o każdym poprzedniku oraz o jednoznacznie wyznaczonym następniku poprzez poprzednik. Nigdzie nie ma mowy o suriektywności. Napisałeś przecież, że to mają być funkcje. Tylko tyle.

Jeśli nie pamiętasz tego obiektu z teorii mnogości, to możesz pamiętać z algebry liniowej, gdzie standardowym przykładem przestrzeni liniowej jest Y^X, gdzie w Y mamy strukturę liniową. Łatwo zobaczyć, że gdy zażądasz suriektywności, nie uzyskasz takiego wyniku (id+(-id)=0).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 09:19 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Zgadza się, że to mają być funkcje, ale dla mnie
\cos \in [-1,1]^\RR
oraz
\cos \in \RR^\RR
to dwie różne funkcje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 09:26 
Użytkownik

Posty: 352
Lokalizacja: Polska
bartek118 napisał(a):
Zgadza się, że to mają być funkcje, ale dla mnie
\cos \in [0,1]^\RR
oraz
\cos \in \RR^\RR
to dwie różne funkcje.
.

Zapewne chodziło Ci o cos \in [-1,1]^\RR. Czy fakt, że 2 \in \NN oraz 2 \in \RR oznacza, że 2 \neq 2? Przestrzenie [-1,1]^\RR, \  \RR^\RR są różne, natomiast cos naturalnie rozumiany jest elementem obu przestrzeni. Podobnie jak jest elementem przestrzeni [- \pi, \pi ]^\RR.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 09:27 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
ZF+GCH napisał(a):
bartek118 napisał(a):
Zgadza się, że to mają być funkcje, ale dla mnie
\cos \in [0,1]^\RR
oraz
\cos \in \RR^\RR
to dwie różne funkcje.
.

Zapewne chodziło Ci o cos \in [-1,1]^\RR. Czy fakt, że 2 \in \NN oraz 2 \in \RR oznacza, że 2 \neq 2? Przestrzenie [-1,1]^\RR, \  \RR^\RR są różne, natomiast cos naturalnie rozumiany jest elementem obu przestrzeni. Podobnie jak jest elementem przestrzeni [- \pi, \pi ]^\RR.


Czyli Twoim zdaniem \cos \in [-1,1]^\RR oraz \cos \in \RR^\RR to jest dokładnie ta sama funkcja?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 09:30 
Użytkownik

Posty: 352
Lokalizacja: Polska
cos \in [0,1]^{\mathbb{R}} nie jest funkcją, chyba, że jesteś łaskaw powiedzieć mi ile wynosi cos(\pi).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 09:31 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
ZF+GCH napisał(a):
cos \in [0,1]^{\mathbb{R}} nie jest funkcją, chyba, że jesteś łaskaw powiedzieć mi ile wynosi cos(\pi).


Oczywiście chodzi mi o \cos \in [-1,1]^\RR
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 09:37 
Użytkownik

Posty: 352
Lokalizacja: Polska
Ja napiszę tylko tyle : jeśli A \subseteq B, oraz f \in A^X, to znaczy f \colon X \to A, to otrzymujemy \forall_{x \in X} f(x) \in A  \subseteq B, czyli f \colon X \to B. Oznacza to, że f \in B^X.
Podkreślam : fakt, że dwie przestrzenie są różne, nie oznacza, że są rozłączne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 09:47 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
ZF+GCH napisał(a):
Ja napiszę tylko tyle : jeśli A \subseteq B, oraz f \in A^X, to znaczy f \colon X \to A, to otrzymujemy \forall_{x \in X} f(x) \in A  \subseteq B, czyli f \colon X \to B. Oznacza to, że f \in B^X.
Podkreślam : fakt, że dwie przestrzenie są różne, nie oznacza, że są rozłączne.


Nieprawda, to co zrobiłeś, to mając funkcję f : X \rightarrow A określiłeś inną funkcję \tilde{f} : X \rightarrow B daną wzorem \tilde{f}(x) = f(x); bynajmniej funkcje te nie są równe, jednak ustalają pewną identyfikację obiektów f \mapsto \tilde{f}. Jednak nadal - funkcje te nie są równe.

To jest podobnie jak z ciałem \CC; elementami \CC są pary (x,y) \in \RR^2, tj. \CC = \RR^2. Wówczas 2 \in \RR oraz 2 \in \CC to dwa różne obiekty, gdyż 2 \in \CC oznacza parę (2,0). Oczywiście, utożsamiamy je i traktujemy jak takie same i możemy sobie na to pozwolić poprzez taką identyfikację x \mapsto (x,0); ale - tu możemy sobie na to pozwolić, gdyż nie tracimy żadnych informacji o x. Natomiast w przypadku funkcji jest to zupełnie coś innego, przeciwdziedzina niesie za sobą pewne informacje.

Zbiory \RR i \CC są formalnie rozłączne, lecz po odpowiedniej identyfikacji możemy napisać, że \RR \subset \CC. Jednak w przypadku funkcji nie możemy sobie ot tak na to pozwolić - zbiory [-1, 1]^\RR oraz \RR^\RR są rozłączne, nie ma ani jednej funkcji, która leży w obydwu tych zbiorach. Posłużę się innym przykładem, rozpatrzmy funkcję \arctg \in \RR^\RR oraz funkcję \arctg \in \left( - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)^\RR; są to istotnie różne funkcje (choć zadane tym samym wzorem), chociażby ze względu na to, że jedna z nich jest odwracalna, a druga nie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz elementy: najmniejszy, największy, minimalny, maxyma  desertangel  1
 Elementy bezwarunkowe funkcji  Szakal_1920  0
 Elementy funkcji  pysia12  4
 Obroty w przestrzeni liniowej i afinicznej  relic  10
 figury geometryczne w przestrzeni - zadanie 2  Nix  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl