szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 21:43 
Użytkownik

Posty: 181
Hej, z góry dzięki za pomoc z tymi zadaniami :)

zad. 1.
Wyznacz równanie stycznych do okręgu x ^{2} -6x +y ^{2} -2y +5=0:
b) równoległych do prostej x-2y=0
c) prostopadłych do prostej 4x - 2y=1

zad. 2.
Wyznacz parametr a dla którego dana prosta jest styczna do okręgu określonego równaniem x ^{2}  + 4x + y ^{2}-6y+4=0
a) x+y+a=0

zad. 3.
Punkty P,Q,R są odpowiednio środkami boków AB,BC i CD równoległoboku ABCD. Wyznacz współrzędne wierzchołków równoległoboku, jeżeli:
a) \vec{AB}= [9;5], Q(8;4), R( \frac{9}{2}; \frac{11}{2})
b) P(4;-2), Q( \frac{11}{2};0), R(1;4)

zad. 4.
Prosta l jest styczna do okręgu o równaniu x ^{2} + y ^{2}= 169 w punkcie (12;5). Prosta l przecina oś OY w punkcie?

zad. 5.
Prosta y=-x+b jest styczna do okręgu danego równaniem x ^{2}+y ^{2}=10. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby \left| b\right|.

zad. 6.
Okręgi x ^{2} +y ^{2} =9 i (x-3) ^{2} +(y-3) ^{2}=4 przecinają się w punktach P i Q od początku układu współrzędnych.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 21:59 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Te zadania z prostą styczną do okręgu sprowadzają się do tego samego.
Masz prostą y=x+b albo y=-\frac{1}{4}x+b albo y=-x-a.

Wstawiasz to do równania okręgu. Powstaje równianie kwadratowe z parametrem a lub b i trzeba zobaczyć kiedy jest jedno rozwiązanie, bo tylko wtedy prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2015, o 22:09 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
Ad 1
Do równania stycznej "y=ax+b" wstawiamy współczynnik "a=?" i podstawiamy za "y" naszą kombinację do równania okręgu. Otrzymujemy równanie kwadratowe z parametrem "b". Aby był jeden punkt wspólny prostej i okręgu, to delta z tego równania musi być równa zero (a to da nam "b")

-- 6 lut 2015, o 20:12 --

Ad 2
Podobnie jak w 1 - podstawiamy "y" do równania okręgu i wyznaczamy z delty = 0 wartość "a"
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2015, o 20:35 
Użytkownik

Posty: 181
Dzięki wielkie ! :) A czy ktoś mógłby pomóc z resztą zadań?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2015, o 21:09 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
Ad 3a
Zrób, na razie bez układu współrzędnych, rysunek dowolnego równoległoboku ABCD i zaznacz punkty Q i R
(dla wygody nie będę nad dwiema dużymi literami pisał strzałek, ale będą to wektory)

Krok 1
DR = 1/2AB D(x;y) R(9/2;11/2)
[9/2-x;11/2-y]=1/2[9;5]
9/2-x=9/2, czyli x=0 i 11/2-y=5/2, czyli y=3. A zatem: D(0;3)

Krok 2
DC=AB D(0;3) C(x;y)
[x-0;y-3]=[9;5], a stąd wyjdzie: C(9;8)

Krok 3
CQ=QB C(9;8) Q(8;4) B(x;y)
[8-9;4-8]=[x-8;y-4], a stąd wyjdzie: B(7;0)

Krok 4
AB=[9;5] A(x;y) B(7;0)
[7-x;0-y]=[9;5], po wyliczeniu: A(-2;-5)

A teraz zrób rysunek w układzie współrzędnych i sprawdź czy wszystko się zgadza
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2015, o 21:17 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Z tym równoległobokiem to zapisz wektorowo: \vec{AB} = \vec{DC}

Teraz wiesz że \vec{DR} = \vec{RC} = \frac{1}{2}\vec{DC} co pozwala wyznaczyć współrzędne wierzchołków D,C

Jak masz już C to policz wektor \vec{QC} i wtedy \vec{BC} = 2\vec{QC} co pozwala obliczyć wierzchołek B

Jak masz B i znasz współrzędne wektora \vec{AB} to możesz obliczyć A
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2015, o 21:22 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
Z zadaniem 3b myślę,że już sobie poradzisz (wybacz zbitkę jarek4700)

-- 7 lut 2015, o 19:45 --

Ad 4
Jeżeli mamy okrąg o środku S(a;b) i promieniu r, to jego równanie ma postać
(x-a) ^{2} + (y-b)^{2}= r^{2}, co można zapisać jako:
(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)= r^{2}
Dlatego piszę taką postać, bo z niej łatwo zapamiętać wzór na równanie stycznej do okręgu w punkcie P(x _{0};y _{0}) jeżeli ten punkt leży na okręgu:
(x-a)(x _{0} -a)+(y-b)(y _{0} -b)= r^{2}

Z treści zadania mamy:
(x-0)(12-0)+(y-0)(5-0)=169
czyli: 12x+5y=169
stąd: y=-  \frac{12}{5}x+ \frac{169}{5}, a z tego zapisu widać, że \frac{169}{5} to właśnie miejsce przecięcia z osią OY.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Geometria analityczna] zadania z prostymi  Pauleenka  2
 Pokrycie i geometria analityczna.  Kartezjusz  0
 Pole trójkąta metodą analityczną  zyga37  1
 Geometria analityczna - proste  Sam jestes fizyk  1
 geometria analityczna - zadanie 18  mariusz48  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl