szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2015, o 14:45 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Toruń
Niech \left[x\right] oznacza część całkowitą liczby x\in\RR, to znaczy \left[x\right] = \max \{k\in\ZZ | k\le x\}
Rozpatrzymy funkcję f:\RR\to\ZZ określoną wzorem
f(x)=\left[x\right] \ \ dla\ \ x\in\RR

1) Sprawdź czy f jest różnowartościowa.
2) Sprawdź czy f jest funkcją "na".
3) Oblicz f^{-1}(\{0,2\})

W poniedziałek czeka mnie egzamin . Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadanie, z góry dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2015, o 15:02 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
1. Iniekcja (różnowartościowość) jest określona warunkiem:
Funkcja f : X \rightarrow Y jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy:
\forall_{x_1, x_2 \in X} \quad x_1 = x_2 \Leftrightarrow f(x_1) = f(x_2)

Wystarczy podać konkretny kontrprzykład i go uzasadnić.
Weźmy x_1 = 0, \quad x_2 = 0.5
Oczywiście x_1, x_2 \in \RR
f(x_1) = [0] = 0\\
f(x_2) = [0.5] = 0\\
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\\
0 = 0.5 \text{ sprzeczne}

swoją drogą nie chodziło przypadkiem o \lfloor x \rfloor zamiast [x] ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2015, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Toruń
Nie, w zadaniu jest tak jak napisałem czyli [x]. A pomógłbyś mi jeszcze z punktem trzecim?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2015, o 19:17 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
No ok, czyli wprowadzamy nowe oznaczenie, pytam bo oznaczenie podłogi ma to samo znaczenie (przynajmniej dla dodatnich).

co do punktu 3. mamy przeciwobraz do policzenia:
wiemy, że dla funkcji f:X \rightarrow Y przeciwobraz określamy jako:
A \subset Y \Rightarrow f^{-1}(A) = \{ x: \quad f(x) \in A\}

wiesz jak to ruszyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2015, o 21:18 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Gouranga napisał(a):
No ok, czyli wprowadzamy nowe oznaczenie, pytam bo oznaczenie podłogi ma to samo znaczenie (przynajmniej dla dodatnich).

To nie jest nowe oznaczenie! To podłoga jest nowym oznaczeniem, oznaczenie [x], czyli część całkowita vel cecha vel entier było dużo wcześniej.

Gouranga napisał(a):
Wystarczy podać konkretny kontrprzykład i go uzasadnić.
Weźmy x_1 = 0, \quad x_2 = 0.5
Oczywiście x_1, x_2 \in \RR
f(x_1) = [0] = 0\\
f(x_2) = [0.5] = 0\\
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\\
0 = 0.5 \text{ sprzeczne}

Powiem uczciwie, że to dość wycudowane uzasadnienie. Wystarczyło napisać

f(0)=f(0,5)=0, więc f nie jest różnowartościowa.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2015, o 00:54 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Toruń
Gouranga napisał(a):
co do punktu 3. mamy przeciwobraz do policzenia:
wiemy, że dla funkcji f:X \rightarrow Y przeciwobraz określamy jako:
A \subset Y \Rightarrow f^{-1}(A) = \{ x: \quad f(x) \in A\}

wiesz jak to ruszyć?


powiem szczerze, że nie bardzo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2015, o 00:58 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Napisz, czym z definicji jest f^{-1}[\{0,2\}].

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2015, o 01:19 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
Jan Kraszewski, wycudowane ale formalnie poprawne? Bo jeśli tak to chyba można uznać za poprawne prawda?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2015, o 15:10 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Toruń
f^{-1}(\{0,2\}) = f^{-1}(\{0\}) \cup f^{-1}(\{2\}) = \{f^{-1}(0)\} \cup \{f^{-1}(2)\}\\
f^{-1}(0) = \{r \in \RR | f(r) = 0\} = \{r \in \RR | \lfloor r\rfloor = 0 \} = \lfloor0\rfloor = \langle0,1)\\
f^{-1}(2) = \{r \in \RR | f(r) = 2\} = \{r \in \RR | \lfloor r\rfloor = 2 \} = \lfloor2\rfloor = \langle2,3)

w przypadku gdy traktujemy \{0,2\} jako zbiór liczby którego elementami są 0 oraz 2 tak to powinno wyglądać?

Potrafi ktoś mi wytłumaczyć jak sprawdzić, czy podana funkcja jest "na"?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2015, o 15:34 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
a jaka jest część całkowita liczby -0.9 ?
moim zdaniem f^{-1}(\{0,2\}) = (-1; 1) \cup \langle 2; 3)

natomiast jeśli chodzi o suriekcję to funkcja f: X\rightarrow Y jest "na" wtedy i tylko wtedy, gdy:
\forall_{y\in Y} \exists_{x \in X} \quad f(x) = y
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2015, o 15:46 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Gouranga napisał(a):
Jan Kraszewski, wycudowane ale formalnie poprawne? Bo jeśli tak to chyba można uznać za poprawne prawda?

Uznać można, ale z niesmakiem. Oprócz poprawności dowodu jest też coś takiego jak elegancja, a to, co napisałeś, zgrzyta. Po co pisać coś tak prostego w tak nieprosty sposób?

nitubydz napisał(a):
f^{-1}(\{0,2\}) = f^{-1}(\{0\}) \cup f^{-1}(\{2\}) \red= \{f^{-1}(0)\} \cup \{f^{-1}(2)\}

To na czerwono nie ma sensu. Przecież ta funkcja nie ma odwrotnej!

Gouranga napisał(a):
a jaka jest część całkowita liczby -0.9 ?

[-0,9]=-1

Gouranga napisał(a):
moim zdaniem f^{-1}(\{0,2\}) = (-1; 1) \cup \langle 2; 3)

No to masz braki w podstawach.

Obliczenia nitubydza były poprawne (tylko napisał trochę nieprawdziwych rzeczy), wystarczy złozyć je w całość.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2015, o 15:52 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
A to przepraszam, widocznie faktycznie braki.
Wiem, że \lfloor -0.9 \rfloor = -1, myślałem, że z częścią całkowitą dla ujemnych jest inaczej niż z podłogą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2015, o 16:27 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Podłoga jest nowszą nazwą na część całkowitą. To jest ten sam byt.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl