szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2015, o 18:26 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Polska
Ile wynosi najmniejsza wartość wyrażenia \ctg \alpha + \ctg \beta + \ctg \gamma, gdzie \alpha , \beta , \gamma są kątami trójkąta?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2015, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 254
Lokalizacja: Polska
Obierzmy w trójkącie ABC o żądanych kątach punkt P taki, że \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA= \omega (jest to punkt Brocarda tego trójkąta, a \omega to tzw. kąt Brocarda). W każdym trójkącie zachodzi \ctg A+\ctg B+\ctg C=\ctg \omega oraz \omega \le  \frac{ \pi }{6}, przy czym równość zachodzi dla trójkąta równobocznego. Stąd szukaną minimalną wartością jest \ctg  \frac{ \pi }{6}= \sqrt{3}.

Drugim pomysłem jest skorzystanie z nierówności Jensena dla równych wag i funkcji wypukłej f(x)=\ctg x. Dostajemy wówczas \frac{1}{3}(\ctg \alpha + \ctg \beta + \ctg \gamma) \ge \ctg \frac{ \pi }{3} i równość dla równobocznego oraz znowu minimalna wartość to \sqrt{3}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ---suma kątów w trójkącie-----  Ryjek  3
 suma kosinusów trójkąta  foxx  2
 W trójkącie prostokątnym suma długości...  szejker1995  3
 Suma długości promieni kół wpisanych w odcięte trojkąty  seba174  3
 Dwa zadania związane z sumą kątów w trójkącie.  onajestpedalem  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl