szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2015, o 20:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
Dane są na płaszczyźnie punkty A, B i prosta k. Znajdź punkt równoodległy od tych trzech.

Jaki jest na to sposób, by nie zakopać się w bezsensowne rachunki?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2015, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Jest. Zbiór punktów równoodległych od punktów A i B to symetralna odcinka AB. Wystarczy znaleźć równanie tej symetralnej (co jest banalne) i na niej szukany punkt, co jest równie proste (tylko jedna zmienna).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2015, o 22:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
Wyznaczyć symetralną da się prościej niż wyznaczyć prostą AB, znaleźć środek AB i wziąć prostopadłą do prostej AB i przechodzącą przez środek?

No i z tym szukaniem punktu: też da się to jakoś łatwiej niż rozwiązywać równanie \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sqrt{(x-x_0)+(y-y_0)^2}? Oczywiście jest to do rozwiązania, ale szczególnie przyjemną rzeczą to nie jest...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2015, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Szkoda, że nie podałeś konkretnych wartości, rachunki na liczbach sa szybsze w zapisie niż na tych wszystkich oznaczeniach.

Co do pierwszego pytania, to tak, równanie symetralnej można znaleźć szybciej.
Może na przykładzie będzie łatwiej wytłumaczyć. Np. A=(5,2), B=(1,4) a punkt symetralnej to (x,y). Wtedy
\sqrt{(x-5)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y-4)^2}
Do kwadratu, wykonujemy działania, skracamy kwadraty, porządkujemy i mamy równanie symetralnej.
x^2-10x+25+y^2-4y+4=x^2-2x+1+y^2-8y+16
8x-4y-9=0
y=2x-\frac92

A dalej niech ta dana prosta ma równanie np. y=-2x-5. Wtedy punkt na niej leżący ma współrzędne (x,-2x-5). Powinna zachodzić równość
\sqrt{(x-5)^2+(-2x-5-2)^2)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(-2x-5-4)^2}
Trzeba wykonać działanie w nawiasach, równanie obustronnie do kwadratu, wykonać działania, uporządkować i wyliczyć x.

Nie wiem, może jest szybsza metoda, ale ta jest "prymitywna" i bardzo skuteczna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2015, o 23:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
Pierwszy akapit jest klarowny i zrozumiały (bardzo dobrze, że wstawiłeś liczby - ja po prostu ich nie zapamiętałem). Ale drugiego nie rozumiem: dlaczego uważasz, że szukany w zadaniu punkt leży na prostej y=-2x-5? Przecież on ma być odległy od tej prostej o tyle samo, co od A i od B. A jeśli on już leży na prostej, no to trochę lipa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2015, o 23:38 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
O kurcze. Masz oczywiście rację.
Nie wiem co mi do łba wpadło. Oczywiści szukany punkt musi leżeć na symetralnej, czyli jego współrzędne będą wynosić \left(x,2x-\frac92\right) i teraz bez wzoru na odległość punktu od prostej się nie obejdzie. Ale wtedy dostaniemy równanie postaci (daną prostą przekształcamy do postaci ogólnej 2x+y+5=0)
\sqrt{(x-5)^2+(2x-\frac92-2)^2}=\left|\frac{2x+2x-\frac92+5}{\sqrt{4+1}}\right|
Ale wtedy idzie dalej metoda podniesienia obustronnie do kwadratu, wykonania działań, redukcji i wyliczenia iksa.
Co więcej dostaniesz wtedy prawidłowo dwa możliwe rozwiązania.
Sorry za zamieszanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2015, o 23:52 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
Zaciekawił mnie ten problem i albo mnie teraz zaćmiło albo ta przykładowa symetralna ma równanie y=2x-3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2015, o 00:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
szachimat napisał(a):
Zaciekawił mnie ten problem i albo mnie teraz zaćmiło albo ta przykładowa symetralna ma równanie y=2x-3

A nie wiem, nie sprawdzałem rachunków chrisa, sposób mnie interesował ;p

chris_f napisał(a):
Sorry za zamieszanie.

Luzik, dziękuję ci za to.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2015, o 00:22 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
To skoro jeszcze siedzisz przy tym, to może to nad czym się zastanawiam na coś mądrego Ciebie skieruje.
Otóż myślę jak wykorzystać fakt, że okrąg o środku leżącym na symetralnej, przechodzący przez punkty A i B jest styczny do zadanej prostej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2015, o 00:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
Pytanie fantastyczne, bo sam je sobie zadałem kilka godzin temu, gdy zobaczyłem to zadanie :P Niestety nie wiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2015, o 00:32 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
To jeszcze w międzyczasie dochodzę do tego, że jeżeli A(a;b), B(c;d) to symetralna jest zbiorem punktów ( x_{0};y _{0} ) spełniających warunek:
(2c-2a)x_{0} +(2d-2b)y _{0} +a^2+b^2-c^2-d^2=0
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Wyznacz punkt przecięcia się prostej z okręgiem  Anonymous  5
 Wzór na odległość punktu od prostej, odległość prost  Anonymous  1
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty  mnk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl