szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2015, o 13:56 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Azerbejdżan
Niech f:X \rightarrow Y będzie funkcją i A _{k}  \subset  Y, gdzie k \in K \neq \emptyset. Udowodnić, że:

a) f^{-1} ( \bigcap_{k \in K}A _{k} )= \bigcap_{k \in K}f^{-1} (A _{k} )

Rozpisuję sobie to z definicji przeciwobrazu i iloczynu uogólnionego:

x \in f^{-1} ( \bigcap_{k \in K}A _{k} ) \ \Leftrightarrow \ \exists y \in  \bigcap_{k \in K}A _{k}: y=f(x) \ \Leftrightarrow  \  \forall k \in K \ \exists y \in A _{k} : y = f(x)

lecz nie wiem niestety, co dalej, jak to udowodnić. Bardzo proszę o jakieś sugestie, bo jestem w kropce.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2015, o 14:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1219
Wskazówka: pokaż dwie inkluzje.

Pokażę pierwszą - Ty pokażesz drugą, ok? :)

\hbox{Ustalmy }x \in f^{-1} ( \bigcap_{k \in K}A _{k} ).

Z definicji istnieje y\in\bigcap_{k \in K}A _{k}, taki że f(x) = y. W związku z tym dla każdego k\in K mamy, że y\in A_k. To już oznacza, że dla każdego k mamy, że x\in f^{-1}(A_k). Stąd wynika, że x\in\bigcap_{k\in K}f^{-1}(A_k).

Teraz Twoja kolej :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2015, o 14:30 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Azerbejdżan
x\in\bigcap_{k\in K}f^{-1}(A_k)\ \Rightarrow \ \forall k \in K : x \in f^{-1}(A_k)\ \Rightarrow \ \forall k \in K  \ \exists y \in A _{k} : y=f(x)  \Rightarrow \ \exists y \in  \bigcap_{k \in K} A _{k} : y = f(x) \ \Rightarrow \ x \in f ^{-1}( \bigcap_{k \in K}A _{k})


co należało wykazać. Dobrze myślę? Nie ma żadnych niejasności?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2015, o 17:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1219
Wszystko ok, tylko jeszcze trzeba dopowiedzieć, że to co jest w miejscu kropek:

asdf666 napisał(a):
\forall k \in K  \ \exists y \in A _{k} : y=f(x)  \Rightarrow \ \ldots


wynika stąd, że f jest funkcją, bo chodzi nam o to, że ten y jest taki sam w przypadku każdego ze zbiorów A_k - reszta jest ok :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2015, o 20:05 
Administrator

Posty: 21375
Lokalizacja: Wrocław
jutrvy napisał(a):
Wskazówka: pokaż dwie inkluzje.

Ale po co? Tu akurat dobrze idzie równoważnościami.

asdf666, gdybyś dobrze stosował definicję przeciwobrazu, byłoby Ci prościej:

x\in f^{-1}[A] \Leftrightarrow f(x)\in A.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl