szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2015, o 20:06 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Warszawa
Niech n>1. Wykaż, że \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} {n \choose k}(n-k)=n. Wskazówka: rozważyć zbiory A_{i}=[n]-\left\{ i \right\} dla 1 \le i \le n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2015, o 20:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18498
Lokalizacja: Cieszyn
Wydaje mi się, że umiejętnie wykorzystując operator różnicowy (dobierając odpowiednią funkcję, zamieniając kolejność sumowania itp.) można to natychmiast dostać. Zobacz na mój wykład tu: 376642.htm

Zacząłbym od przenumerowania:

$\begin{multline*}
\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\binom{n}{k}(n-k)=\sum_{n-k=0}^{n-1}(-1)^{n-(n-k)+1}\binom{n}{n-k}(n-k)=\\=
-\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\cdot i\,.\end{multltine*}

W moim wykładzie wystarczy wziąć teraz x=0 oraz h=1. Pamiętajmy, że brakuje składnika z numerem n, więc trzeba go dodać i odjąć. Zauważamy, że dla f(x)=x mamy \Delta_h^n f(x)=0 dla n\ge 2 i po sprawie.

A teraz widzę, że w ostatnim wzorze mojego wykładu wykazałem nawet rzecz ogólniejszą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2015, o 20:21 
Użytkownik

Posty: 15820
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wsk. Ile elementów ma zbiór A_1\cup\dots\cup A_n? Pomoże http://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_w%C5%82%C4%85cze%C5%84_i_wy%C5%82%C4%85cze%C5%84
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazanie równości - zadanie 4  ahaswer22  0
 Wykazanie równości - zadanie 32  KameleonFCB  2
 Wykazanie równości - zadanie 35  primax  2
 Wykazanie równości - zadanie 26  Kanodelo  5
 Wykazanie równości - zadanie 24  drmb  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl