szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2015, o 17:48 
Użytkownik

Posty: 3
Liczby x _{1} , x _{2} są pierwiastkami wielomianu W(x)=x^2-15x+3. Udowodnić, że x _{1}  ^{2012} + x _{2}  ^{2012} jest liczbą całkowitą podzielną przez 3 ^{1006}.

Czy ktoś ma pomysł na to zadanie z wykorzystaniem kongruencji?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2015, o 19:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Można bez kongruencji. Wystarczy skorzystać z tożsamości:
x_1^n + x_2^n=\left( x_1+x_2 \right) \left( x_1^{n-1} + x_2^{n-1} \right) -x_1x_2\left( x_1^{n-2} + x_2^{n-2} \right).
Ze wzorów Viete'a:
x_1+x_2=15
x_1x_2=3
podstawiasz do tożsamości i masz:
x_1^n + x_2^n=15 \left( x_1^{n-1} + x_2^{n-1} \right) - 3\left( x_1^{n-2} + x_2^{n-2} \right)
Dalej podobnie rozwijasz kolejne wyrazy x_1^{k} + x_2^{k}, schodząc w dół z wykładnikiem aż po 1006 rozwinięciach dojdziesz do wykładnika 0.
A wystarczy zauważyć, że przy każdym zmniejszeniu wykładnika ukazuje nam się kolejna trójka.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 6. - zadanie 3  antol  1
 podzielność liczb - zadanie 27  kamil2227  2
 Wykaż podzielność liczb - zadanie 2  maduska121  1
 Podzielność sumy 2 liczb  Intruder  3
 Wyznacz wszystkie liczby całkowite ( podzielność )  blackbird936  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl