szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2015, o 16:04 
Użytkownik

Posty: 5348
Lokalizacja: Kraków
Manipulacje w C - Typowe zadania




Przykład
Wykonać takie obliczenia:
a)z_{1}=i\left(  -1+3i\right)
b) z_{2}= 3- 4i - \left( 2 -3i\right)
c) z_{3} = \frac{9+ 7i}{1+3i}
Obliczyć z_1^2 , \arg\left( z_2\right)  , |z_3|

Rozwiązanie
a) z_{1}= -3 - i
b) z_2= 1 - i
c) z_3 = \frac{9+ 7i}{1+3i} \cdot \frac{1-3i}{1-3i} = 3-2i

z_1^2 = 8+6i
z_2 = \sqrt{2}\left( \left( \cos\left( \frac{7\pi}{4}\right) \right) + i \sin\left( \frac{7\pi}{4}\right)  \right) tj. \arg\left( z_2\right)  = \frac{7\pi}{4}
|z_3|= \sqrt{13}

Przykład
Rozwiązać układ równań
\begin{cases}\frac{z+2w}{1-i}+\frac{z-2w}{1+i}=20+5i\\iz+w=1-i\end{cases}

Rozwiązanie
Podstawiając w=1-i\left( 1+z\right) jest
\left( z+2w\right)\left( 1+i\right) + \left( z-2w\right)\left( 1-i\right) = 2\left( z+ 2wi\right) =2\left( 20 + 5i\right) czyli z= \frac{6\left( 3+i\right) }{2-i}, stąd
\begin{cases}z=6+i\\w=2-7i\end{cases}.

Przykład
Udowodnić tożsamość \cos\left( 3\alpha\right) =4\cos^3\left( \alpha\right) -3\cos\left( \alpha\right)

Rozwiązanie
I sposób:
\cos\left( 3\alpha\right) +i\sin\left( 3\alpha\right)  = \left( \cos\left( \alpha\right) +i\sin\left( \alpha\right)\right)  ^3 = \\ \cos^3\left( \alpha\right) +3\cos^2\left( \alpha\right) isin\left( \alpha\right)  - 3 \cos\left( \alpha\right)  \sin^2\left( \alpha\right)  - i \sin^3\left( \alpha\right) (de Moivre)
a porównując części rzeczywistą i urojoną (i stosując jedynkę trygonometryczną):
\begin{cases} \cos3\left( \alpha\right) = 4\cos^3\left( \alpha\right)  - 3\cos\left( \alpha\right) \\ \sin3\left( \alpha\right) =-4\sin^3\left( \alpha\right) +3\sin\left( \alpha\right) \end{cases}

II sposób:
Niech z= \cos\left( \alpha\right)  + i\sin\left( \alpha\right), tj.
\left[ \frac{1}{2}\left( z + \frac{1}{z}\right)\right]  ^3 = \frac{1}{8}\left( z^{3} + \frac{1}{z^3}\right)  + \frac{3}{8} \left( z + \frac{1}{z} \right) tj. \cos^{3}\left( \alpha\right)  = \frac{1}{4}\cos\left( 3\alpha\right) + \frac{3}{4}\cos\left( \alpha\right)

A także \sin\left( x\right)  = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} tj.
\sin^{3} x= \left( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)  ^{3} = \frac{1}{8}\left( i  e^{3ix} - 3(e^{ix}- e^{-ix}) - e^{-3ix}\right)   = -\frac{1}{4}\sin\left( 3x\right) + \frac{3}{4}\sin\left( x\right)
czyli \sin\left( 3x\right) = 3\sin\left( x\right)  - 4\sin^3\left( x\right)

Przykład
Obliczyć
a) z=\sqrt[2]{9-40i}
b) z=\sqrt[4]{i}
c) z=\sqrt[3]{-1}

Rozwiązanie
a) Niech \left( a+bi\right) ^{2} = 9-40i oraz a, b \in R; stąd:
\begin{cases}a^2-b^2 =9\\2ab=-40\end{cases}
stąd b=-\frac{20}{a} co oznacza, iż a^2- \frac{400}{a^2} =9 dla t=a^2 jest równaniem t^2 - 9t - 400=0; tj.
t=-16lubt=25. A zatem a=5 i b=-4 lub a=-5 i b=4
Na koniec sprawdzenie: \left( 5-4i\right) ^2= \left( -5+4i\right) ^2=9-40i

b) Skoro i= \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( \frac{\pi}{2}\right) to dla k=0, 1, 2, 3 jest: \sqrt[4]{i}= \cos\left( \frac{ \frac{\pi}{2}+ 2k\pi}{4}\right)  + i \sin\left( \frac{ \frac{\pi}{2}+ 2k\pi}{4}\right) = \begin{cases} \pm \frac{1}{2}\left( \sqrt{2+\sqrt{2}} + \sqrt{2- \sqrt{2}} i\right)  \\ \pm \frac{1}{2}\left( \sqrt{2-\sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2}} i\right)  \end{cases}

c) Jeśli z^{3}=-1 to z^{3}+1=(z+1)(z^2-z+1)=0 stąd z=-1 lub z=\frac{1}{2}\left( 1 \pm \sqrt{3}i\right)


Przykład
Obliczyć sumę \sin\left( x\right) + \sin\left( 2x\right) + …. + \sin\left( nx\right) oraz wyrazić ją jako funkcję zmiennej z= \cos\left( x\right) + i \sin\left( x\right)

Rozwiązanie

Jeśli
\begin{cases}I_n\left( x\right)  = \sin\left( x\right) + \sin\left( 2x\right) + …. + \sin\left( nx\right)  \\ R_n\left( x\right) = \cos\left( x\right) + \cos\left( 2x\right) + …. + \cos\left( nx\right)  \end{cases}
to R_n\left( x\right) + iI_n\left( x\right) = z \frac{z^{n} -1}{z-1}= z+z^{2}+... + z^{n} zatem I_n\left( x\right)  = Im\left( z\frac{z^{n} - 1}{z-1}\right)  .
Ponadto
\frac{z^n-1}{z-1}= \frac{sin\left( \frac{nx}{2}\right) }{ sin\left( \frac{x}{2}\right) } \left( cos\left( \frac{(n-1)x}{2}\right) + isin\left( \frac{\left( n-1\right) x}{2}\right)\right)
stąd (po uproszczeniach) I_n\left( x\right) = \frac{\sin\left( \frac{nx}{2} \right) \sin\left( \frac{(n+1)x}{2}\right) }{ \sin\left( \frac{x}{2}\right) } (o ile x \neq 2k\pi)

Przykład

Udowodnić że \frac{1}{\cos\left( 6^{o}\right) }+ \frac{1}{\sin(24^{o})} + \frac{1}{\sin\left( 48^{o}\right) }= \frac{1}{\sin\left( 12^{o}\right) }

Rozwiązanie :
Niech z=\cos\left( 6^{o}\right) +i\sin\left( 6^{o}\right) ; tj. :
\begin{cases} cos\left( 6^{o}\right) = \frac{z^2+1}{2z} \\ sin\left( 12^{o}\right) = \frac{z^4-1}{2iz^2} \\ sin\left( 24^{o}\right) = \frac{z^8-1}{2iz^4} \\ sin\left( 48^{o}\right) = \frac{z^{16}-1}{2iz^8} \end{cases}
Wystarczy wykazać że:
\frac{2z}{z^{2}+1}= 2iz  \left( \frac{z}{z^{4} - 1} - \frac{z^{3}}{z^{8} - 1} - \frac{z^{7}}{z^{16} - 1}\right)   = 2 iz \left( \frac{z^{13} - z^{11} + z^{9} - z^{7}+ z^{5} - z^{3} +z }{iz - 1}\right)
a tak jest gdyż
\left( z^2+1\right) \left( z^{13} - z^{11} + z^{9} - z^{7}+ z^{5} - z^{3}+ z\right) = z^{15} +z= i+z bo z^{15}= i

Przykład
Wykazać równość kątów: c + b= a (rys.)

Rozwiązanie
Mamy
\begin{cases}a=\arg\left( 1+i\right)  \\ b=\arg\left( 2+i\right)  \\ c=\arg\left( 3+i\right)  \end{cases}
oraz 10i=\left( 1+i\right) \left( 2+i\right)\left(  3+i\right)  = |1+i|e^{ia} |2+i|e^{ib} |3+i|e^{ic} = \sqrt{2} \sqrt{5} \sqrt{10} e^{i\left( a+b+c\right) } = 10 e^{i\left( a+b+c\right) }
stąd e^{i\left( a+b+c\right) }= i = e^{i\left( \frac{\pi}{2}+ 2k\pi\right) }. Jednak a+b+c < \frac{3\pi}{2} czyli k=0 tj. a+b+c = \frac{\pi}{2}.

Użyteczne wzory
Cytuj:
\left( x, y\right)  \mapsto \left( x\cos\left( \phi\right)  - y\sin\left( \phi\right) , x\sin\left( \phi\right) + y\cos\left( \phi\right)\right) obrót o kąt \phi tj. \left( x+yi\right) \left( \cos\left( \phi\right) + i \sin\left( \phi\right)\right)


Cytuj:
e^{i\alpha}= \cos\left( \alpha\right) + i\sin\left( \alpha\right) Euler


Cytuj:
Jesli z= \cos\left( \alpha\right) + i\sin\left( \alpha\right) to \begin{cases} z^{n} + \frac{1}{z^{n}}= 2\cos\left( n\alpha\right)  \\ z^{n} - \frac{1}{z^n}= 2i\sin\left( n\alpha\right)  \end{cases}


Cytuj:
Każda liczba zespolona z\neq0 ma dokładnie n pierwiastków zespolonych stopnia n. Pierwiastki te wyrażają się wzorem:
w_{k}=\sqrt[n]{|z|}\left( \cos{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}}+i \sin{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}}\right)gdzie k=0,1,\cdots,n-1,
\qquad \varphi=arg\,z


Cytuj:
\left( \cos\left( \phi\right) + i\sin\left( \phi\right)\right)   ^{n} = \cos\left( n\phi\right)  + i \sin\left( n\phi\right)  \ \ n \in Z de Moivre


Cytuj:
\arg\left( z_1 \cdot … \cdot z_n\right)  = \arg\left( z_1\right) + ... + \arg\left( z_n\right) (\arg jak logarytm)


Cytuj:
i^{2} = -1 jednostka urojona



Zadania do rozwiązywania *
1. Wykazać, że gdy \frac{3}{2+e^{i\alpha}}=x+yi oraz \alpha , x, y \in R to x^{2}+y^{2}=4x-3
2. Rozwiązać równanie z+|z|=3+i
3. Ile to jest \cos\left( \frac{\pi}{7}\right) + \cos\left( \frac{3\pi}{7}\right) + \cos\left( \frac{5\pi}{7}\right) ?
4. Przedstawić w formie x^{2}+y^{2} wyrażenie:\left(  1+a^{2}\right)\left(  1+b^{2}\right) \left( 1+c^{2} \right) gdzie a, b, c, x, y są to liczby rzeczywiste
5. Rozłożyć na czynniki z^{5}+ z - 1
6. Udowodnić, że jeśli z \in C \backslash \{ 1 \} oraz |z| = 1, to istnieje jedyne x \in R takie, że z=\frac{x+i}{x-i}

Odpowiedzi, wskazówki
1. wsk. |\frac{3}{x+yi} - 2| = 1
2. z = \frac{4}{3} +i
3. \frac{1}{2}
4. wsk. Niech \begin{cases}z_1=1+ai \\ z_2=1+bi \\ z_3=1+ci \end{cases};
obliczyć |z_1z_2z_3|
5. wsk. z^{5}+ z - 1= \left( z^3+ az^2+b\right)\left(  z^2+cz+ d\right)
6. x= i \frac{z+1}{z-1}

* Nie zamieszczać tu rozwiązań...
:arrow: Komentarze, Ewentualne błędy, ulepszenia, uogólnienia ,
inne metody rozwiązań
i następne propozycje tzw. typowych zadań >> pw


Linki
Ukryta treść:    
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ekstrema lok. funkcji dwóch zmiennych - przykładowe zadania  bolo  0
 (2 zadania) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąt  Anonymous  1
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (2 zadania) Ciąg arytemtyczny i geometryczny  Anonymous  3
 (2 zadania) Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl