szukanie zaawansowane
 [ Posty: 24 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2015, o 19:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
Mamy 10 nierozróżnialnych kul. Chcemy je ułożyć do trzech pudełek, gdzie w każdym może być od zera do dziesięciu kul. Ile jest możliwości ułożeń? To jest prawie że 10. liczba Bella, ale trzeba jeszcze dodać podziały z pustymi pudełkami, których jest 6. Tyle jest ułożeń, jeśli się nie mylę (B_{10}+6). Ale liczby Bella nie są zbyt sympatyczne do wyliczania... Czy można to jakoś inaczej ugryźć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2015, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 1390
Lokalizacja: Poznań
każdej kulce przyporządkowujesz jedno z trzech pudełek.. 3^{10}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2015, o 21:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
A jakby kulki były ponumerowane (rozróżnialne)? Wtedy odpowiedź byłaby taka sama... Ale przecież możliwości ułożeń kul nierozróżnialnych jest mniej niż rozróżnialnych. Już przy dwóch kulach i dwóch pudełkach mamy:

dla nierozróżnialnych:
A A
AA .
. AA
3 możliwości

dla rozróżnialnych:
A B
B A
AB .
. AB
4 możliwości (i to jest faktycznie 2^2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2015, o 22:30 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
musialmi napisał(a):
Już przy dwóch kulach i dwóch pudełkach mamy:

dla nierozróżnialnych:
A A
AA .
. AA
3 możliwości


Rozpisz, proszę jakbyś to widział (co zacytowałem) przy dwóch kulach i trzech pudełkach (zamiast kropek używaj kresek (_), żeby było bardziej czytelne)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2015, o 23:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
No oczywiście:
A A _
_ A A
A _ A
AA _ _
_ AA _
_ _ AA
Razem 6. Ale 6 \neq 3^2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2015, o 00:31 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
A zatem wypisałeś wszystkie układy mówiące o tym, że:
1) w dwóch pudełkach znalazło się po jednej kuli, a jedno pozostało puste (twoje 3 pierwsze układy)
2) w jednym pudełku znalazły się dwie kule, w pozostałych zero (twoje 3 ostatnie układy)

To samo zapiszę inaczej, kolejno dla pudełek I, II, III:
1) 1,1,0
0,1,1
1,0,1
2) 2,0,0
0,2,0
0,0,2
A zatem z układów:
1,1,0 - mamy 3 możliwości
2,0,0 - 3 możliwości

A teraz przejdźmy do zadania ( ja zacznę, a ty skończysz)
1) 10,0,0 - 3
2) 9,1,0 - (3!, czyli 6)
3) 8,2,0 - 6
4) 8,1,1 - 3
5) 7,3,0 - 6
6) 7,2,1 - 6
7)
8)
9)
10)
11)

Suma = ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2015, o 11:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
Trzeba wszystko wypisać i zsumować :( Straszny kierat. Czy nie zdaję sobie z czegoś sprawy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2015, o 12:38 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
Ale nie jest tego dużo. Ja już 6 możliwości wypisałem. Tobie zostało tylko 5.
A odnośnie wyniku napisanego przez mostostaleka, to masz rację , że dotyczy on sytuacji gdyby kulki były rozróżnialne.
Czasem lepszy jest niewielki "kierat", ale zrozumiały, niż jeden wzór, którego druga strona nie jest pewna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2015, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 1004
Lokalizacja: Polska
Troszkę mniej żmudnej roboty, ale wydaje mi się, że bardziej uprościć się tego już nie da (rozwiązanie opiera się na różnowartościowości funkcji liniowej i tym samym pomyśle, co miał szachimat)
1) jeśli wszystkie kule są w jednej szufladzie to mamy 3 możliwości
2) jeśli wszystkie kule umieszczone są w dwóch szufladach - wybieramy dwie szuflady na 3 sposoby i kule do nich na 9 sposobów (bo pierwsza cyfra w każdej parze (x,y) jest z przedziału od 1 do 9 (czyli 9 możliwości), a suma x+y=10 przy danym x daje tylko jedną możliwą wartość y (co wynika z różnowartościowości funkcji y=-x+10 - dla danego y istnieje tylko jeden taki argument x), zatem mamy 9 \cdot 1 możliwości ustawienia kul, co w połączeniu z liczbą wyborów szuflad daje 3 \cdot 9=27 możliwości dla tego przypadku
3) kule umieszczamy w trzech szufladach:
A) w dokładnie dwóch szufladach będzie identyczna liczba kul. Wtedy możemy wybrać 4 pary: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) (na przykład (5,5) już nie może być, bo wtedy trzecia szuflada musiałaby być pusta, a taką sytuację rozpatrzyliśmy w przypadku 2).
W trzeciej szufladzie w każdym z tych przypadków pozostaje dokładnie jedna możliwość (bo suma 2x+z=10 przy danym 2x daje tylko jedną możliwość dla z. Zatem mamy 4\cdot 1 kombinacji, przy czym każdą trójkę możemy ustawić na 3 sposoby, zatem wszystkich możliwości dla tego przypadku jest 3 \cdot 4 = 12
B) w każdej szufladzie jest różna liczba kul. Zakładając, że x<y<z (co możemy zrobić, bo zawsze z danej trójki różnych liczb możemy wyróżnić najmniejszą i największą liczbę, a kolejność możemy uwzględnić później) otrzymujemy: 3x<x+y+z=10, skąd x \le 3, zatem x=1 lub x=2 lub x=3.
Biorąc ostatni przypadek otrzymujemy sprzeczność, bowiem mamy wtedy 6=2x<2y<y+z=7. Zatem x=1 lub x=2. Rozpatrując pierwszą możliwość, mamy znaleźć liczbę sum y+z=9. Jedyne możliwości y to 2,3,4, bowiem 2=2x<2y<y+z=9. Wówczas, analogicznie jak wcześniej istnieje tylko jedno takie możliwe z. Zatem mamy 3 \cdot 1 = 3 możliwości. Dla x=2 mamy 4=2x<2y<y+z=9, zatem y=3. A więc razem mamy 3+1=4 możliwości, przy czym każdą trójkę możemy ustawić na 3!=6 sposobów, zatem liczba możliwości w tym przypadku to 4 \cdot 6 = 24.

Sumując wszystkie przypadki dostajemy odpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2015, o 14:57 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
AndrzejK - nie chce mi się analizować.
Napisałeś: "Sumując wszystkie przypadki dostajemy odpowiedź", a zatem tylko sumuję:
3+27+12+24=66
musialmi - ile ci wyszło?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2015, o 15:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
Nie liczyłem, interesował mnie prosty sposób ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2015, o 15:41 
Użytkownik

Posty: 1004
Lokalizacja: Polska
szachimat, Możesz wypisać wszystkie 11 możliwości? Bo mi wychodzi trochę więcej:
Lp) liczba kulek w kolejnych szufladach - liczba możliwych ustawień
1) 10,0,0 - 3
2) 9,1,0 - 6
3) 8,2,0 - 6
4) 8,1,1 - 3
5) 7,3,0 - 6
6) 7,2,1 - 6
7) 6,4,0 - 6
8) 6,3,1 - 6
9) 6,2,2 - 3
10) 5,5,0 - 3
11) 5,4,1 - 6
12) 5,3,2 - 6
13) 4,4,2 - 3
14) 4,3,3 - 3
Razem wychodzi 66, czyli wynik się zgadza z moim sposobem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2015, o 15:58 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
AndrzejK, potwierdzam - musialmi odpuścił, to i ja odpuściłem, a chciałem abyśmy się wspólnie zaangażowali w obliczenie wyniku (po mojej "11" powinienem był dopisać itd., stąd jak ja napisałem 6, to autorowi postu zostało jeszcze 8, które właśnie dokończyłeś (pisząc: jeszcze 5-zrobiłem to zbyt pochopnie), - jest OK)
Szach i Mat :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2015, o 16:06 
Użytkownik

Posty: 1004
Lokalizacja: Polska
Myślałem, że masz na myśli tylko 11 możliwości, bo w następnym poście napisałeś:
Cytuj:
Ja już 6 możliwości wypisałem. Tobie zostało tylko 5.

Ale cieszę się, że doszliśmy do porozumienia, bo jeśli chodzi o kombinatorykę to nie jestem zbyt mocny, więc zacząłem mieć wątpliwości odnośnie swojego rozwiązania. :P

A jeszcze napomknę - liczba Bella na nic się tu nie zda, bo ona bada liczbę podziałów zbioru \left\{ 1,...,n\right\}. A więc na przykład jednym z podziałów zbioru \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \right\} (liczba kul) jest \left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 3\right\} ,\left\{ 4,5,6,7,8,9,10\right\}  \right\}, a nie mamy czterech szuflad, tylko trzy.

Ciekawe zadanie swoją drogą. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2015, o 20:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
x_{1}+x_{2}+x_{3}=10

kule nierozróżnialne a pudełka rozróżnialne możliwości:

{3+10-1 \choose 10}=66

przy założeniu, że i kule i pudełka są nierozróżnialne mamy:

P(10,1)+P(10,2)+P(10,3)=1+5+P(10,3)=6+P(7+3,3)=6+P(7,1)+P(7,2)+P(7,3)=6+1+3+P(4+3,3)=

10+P(4,1)+P(4,2)+P(4,3)=10+1+2+P(1+3,3)=13+P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)=13+1+0+0=14

Liczbami Stirlinga czy Bella bawcie się wtedy gdy kule są rozróżnialne a pudełka nie także w waszym przypadku to jest bezużyteczne!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 24 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kulki w pudełkach - zadanie 6  Dilectus  7
 Kulki w pudełkach - zadanie 2  MgielkaCuba  1
 Kulki w pudełkach - zadanie 3  Michal'86  0
 Kulki w pudełkach  sebek2301  3
 Kulki w pudełkach - zadanie 4  gus  7
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl