szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 18:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Zadanie 13:    


Czy mi się zdaje czy w tym zadaniu znajomość całek i pochodnych jest niezbędna?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 19:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
Na pewno nie. Sądzę, że istnieje rozwiązanie geometryczne. Spróbuję się zastanowić chyba, że ktoś będzie szybszy.

Narysuj siatkę powierzchni bocznej stożka na płaszczyźnie i połącz punkty A,B (dokładniej ich obrazy) odcinkiem. Potem wróć w przestrzeń.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 20:51 
Użytkownik

Posty: 189
W zadaniu mamy mowę o najkrótszej drodze zatem będzie to odcinek którego długość jest równa 2r

r = \sin \alpha  \Rightarrow l = 2r = 2 \sin \alpha
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 20:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
Droga ma być po powierzchni bocznej. I właśnie jeśli narysujemy odcinek jak proponuję, będzie krótszy niż połowa obwodu podstawy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 21:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Ok, już rozumiem, rzeczywiście, tylko jak teraz obliczyć długość tego odcinka w przestrzeni?

-- 3 mar 2015, o 21:25 --

Czy po "złożeniu" stożka z siatki długość odcinka się zmieni?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 22:42 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
Fajnie by było, jakby się zmieniła :) Nie - zmieni się kształt. Wypróbuj robiąc model siatki i naciągając nitkę. A długość liczymy najzwyczajniej w świecie - długość cięciwy okręgu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Czyli odpowiedź to 2\sin \left(\frac{\pi \sin \alpha}{2}\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 23:18 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
Nie. Jak to liczysz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 23:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Promień podstawy ma długość \sin \alpha, a więc łuk powierzchni bocznej po rozwinięciu będzie miał długość 2\pi \sin \alpha. Łuk AB ma długość \pi \sin \alpha, a więc w mierze łukowej \angle AOB = \pi \sin \alpha (wiadomo co oznaczam przez O). Długość cięciwy AB to 2\cdot l \sin\angle AOB=2\sin\left(\frac{\pi \sin \alpha}{2}\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 23:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
Tak - z kolei ja pomyliłem sobie kąt na powierzchni bocznej z kątem rozwarcia. Dlatego warto napisać swoje rozumowanie. Jest poprawne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 23:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Dziękuję za pomoc :) Już myślałem, że po raz kolejny pokazałem swoją niewiedzę :P Czyli wygląda na to, że autorzy PANGEI po raz kolejny nie mają dobrych odpowiedzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 23:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
Jeśli narysujesz sobie tę linię na siatce, to czy przy jej wygięciu linia się rozciągnie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2015, o 00:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Raczej nie, bo inaczej nie można by było złożyć stożka bez przerwania ciągłości.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2015, o 00:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
No właśnie. Najkrótsza droga na płaszczyźnie idzie po odcinku.

Owszem, zadanie można by też rozwiązać w oparciu o linie geodezyjne na powierzchni stożka. Ale to wymaga wiedzy z geometrii różniczkowej i nie o to Ci chodziło.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2015, o 00:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
No tak, wiedziałem, że można to zrobić znając wzory na długość krzywej w przedziale, ale to wiązałoby by się z wyborem odpowiedniej paraboli lub hiperboli, ułożeniu jej równania, policzenia pochodnej potem odpowiedniej całki i tak mi się zdawało na konkursie, że coś nie tak, a ja zapomniałem o takim prostym sposobie :) Chociaż i tak pewnie bym się zastanawiał czy aby na pewno długość odcinka się nie zmieni tym bardziej, że nie ma takiej odpowiedzi wśród podanych :P
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pangea 2015 - Finał I Gimnazjum  jasiododo  2
 Konkurs matematyczny Pangea  gus  8
 Liga Matematyczna 2015 - pierwiastki  MSSC  2
 Przykład - konkurs Pangea  tolaola  12
 Konkurs Prac Uczniowskich Delty i MIMUW 2015  Filipos38  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl