szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Gdańsk
Mam problem z następującym zadaniem: Udowodnić, że jeśli a jest liczbą całkowitą, to 3|a wtedy i tylko wtedy, gdy 3| a^{2}

Prosiłbym o wyjaśnienie jak zrobić to zadanie.
Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 20:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3267
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Def. podzielności i implikacja w obie strony
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Gdańsk
Liczba jest podzielna przez 3 gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3, jak mam to zapisać w rozwiązaniu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 21:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3267
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
To nie jest definicja dzielnika.

a | b  \Leftrightarrow \exists_{p} ap=b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 21:06 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Gdańsk
I mam teraz takie coś według tego:
\exists_{p}3p=a  \wedge \exists_{p}3p= a^{2}

Mam to jakoś teraz rozpisać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 21:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3267
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Masz pokazać równoważność, więc można pokazać implikacje w obie strony.
Na początku należy oddzielnie sprawdzić dla zera - trywialne.


Załóżmy, że 3 | a zatem mamy pokazać:

\exists_{p \in \ZZ} 3p=a  \Rightarrow \exists_{r \in \ZZ} 3r=a^{2}


Równoważnie założenie możemy pomnożyć obie strony przez a i otrzymujemy, że

3ap=a^2, gdzie p z założenia istnieje

niech teraz r=ap \in \ZZ

i otrzymujemy tezę dla pierwszej implikacji.

W drugą strone trzeba trochę sprytniej.

Z założenia

\exists_{p \in \ZZ} 3p=a^{2}

dzielimy obustronnie przez 3

p=\frac{a}{3} \cdot a

Jako, że p,a \in \ZZ tzn., że \frac{a}{3} \in \ZZ a to oznacza, że 3 |a

Mamy więc implikacje w obie strony, a stąd równoważność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 21:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10550
Lokalizacja: Wrocław
Kacperdev, to niestety jest źle (mam na myśli tę trudniejszą implikację). Zastosuję ten sam argument, co u Ciebie:
18= \frac{3}{2}  \cdot 12 i ponieważ 18 \in \ZZ oraz 12 \in \ZZ, to \frac 3 2 \in \ZZ
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 21:27 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3267
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Racja, w drugą stronę trzeba jeszcze sprytniej :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 21:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10550
Lokalizacja: Wrocław
Niestety nic zgrabnego nie umiem wymyślić.
Załóżmy, że a^{2} jest podzielne przez 3. A zatem a^{2}-1 daje resztę 2 z dzielenia przez 3. Ale a^{2}-1=(a+1)(a-1), przy czym pośród liczb a-1,a,a+1 musi być podzielna przez 3. Ale gdyby była nią a-1 lub a+1, to a^{2}-1 też dzieliłoby się przez 3, a tak nie jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 21:35 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
W drugą stronę:
Skoro 3|a^{2} to 9|a^{2}, ponieważ w rozkładzie na czynniki liczby będącej kwadratem liczby naturalnej na czynniki pierwsze, każdy czynnik pierwszy wchodzi z wykładnikiem parzystym. Stąd nietrudno wywnioskować 3|a.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 21:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3267
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Próbując uratować swój sposób:

p=\frac{a\cdot a}{3}jako, że p \in \ZZ a to oznacza, że prawa strona także musi być całkowita. A tzn. a lub a musi być podzielne przez 3 :D

Trochę machania rękami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2015, o 21:58 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Gdańsk
Ok, spróbuje to zrobić korzystając z waszych porad. Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl