szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2015, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 193
Lokalizacja: Polska
Proszę o rozwiązanie zadania:

Obliczyć stosunek długości podstawy do długości ramienia, jeśli w trójkącie równoramiennym środkowa względem ramienia tworzy z podstawą kąt, którego sinus równa się \frac{3}{5}.

Z góry dziękuję :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2015, o 22:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 223
Lokalizacja: Wrocław
Kilka "wskazówek":
  • narysuj tę środkową i wysokość (która też jest środkową) oraz przypomnij sobie, że punkt przecięcia dzieli je w stosunku 2:1
  • korzystając z tw. Pitagorasa dla małego trójkąta utworzonego z połowy podstawy, \frac{2}{3} danej środkowej i \frac{1}{3} wysokości, wylicz stosunek długości podstawy do długości środkowej
  • wylicz cosinus danego kąta (między środkową i podstawą; z jedynki trygonometrycznej), a następnie z tw. cosinusów wylicz stosunek długości ramienia do długości podstawy (będziesz do tego potrzebował stosunku z poprzedniego kroku)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2015, o 17:56 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
Zadanie łatwo rozwiązać w układzie współrzędnych.
Narysuj trójkąt ABC w pierwszej ćwiartce układu i przyjmij oznaczenia: A\left( 0;0\right), B\left( a;0\right), C\left(  \frac{1}{2}a;k \right).

Wówczas środkowa AS ma z ramieniem BC punkt wspólny S\left(  \frac{3}{4}a; \frac{1}{2} k \right) (ze wzoru na współrzędne środka odcinka).

Z treści wiemy, że sinus kąta SAB wynosi \frac{3}{5}, a zatem cos \alpha = \frac{4}{5} (z jedynki trygonometrycznej), natomiast tg \alpha = \frac{3}{4} - ze wzoru: tg \alpha  = \frac{sin \alpha }{cos \alpha }

Biorąc pod uwagę punkt S\left( x;y\right) wiemy, że tg \alpha = \frac{y}{x}, czyli w naszym przypadku:
tg \alpha = \frac{ \frac{1}{2}k }{ \frac{3}{4}a }= \frac{2k}{3a}

A zatem porównując te tangensy mamy: \frac{2k}{3a}= \frac{3}{4}  \Rightarrow k= \frac{9}{8} a.

Niech "b" będzie długością ramienia AC.
b= \sqrt{ \frac{1}{4} a^{2} + \frac{81}{64} a^{2}} =... \frac{a \sqrt{97} }{8}

I ostatecznie: \frac{a}{b} = \frac{8 \sqrt{97} }{97}

Szach i Mat :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2015, o 12:43 
Użytkownik

Posty: 193
Lokalizacja: Polska
Dziękuję bardzo :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2015, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
Jeszcze tylko dopiszę, że po rozwiązaniu sposobem zaproponowanym przez lukequainta wynik otrzymałem taki sam. A zatem, jeżeli ktoś ma wątpliwości co do któregoś rozwiązania, to stwierdzam, że obie metody są poprawne.

Szach i Mat :wink:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pole trójkąta w trójkącie  Nixur  0
 Przyprostokątne trójkąta - zadanie 6  kajolek123  1
 środkowe trójkąta i jego obwód  szymek12  2
 Środkowe trójkąta - zadanie 20  Czingisham  6
 wysokość trójkąta - zadanie 17  kolo98  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl