szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2015, o 01:38 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Warszawa
Kto może wytłumaczyć coś z tych zadań ? Proszę o pomoc.
a) 3^{2n}+4^{n+1} jest podzielne przez 5 gdy n  \ge  0
b) a) 2^{n}<\left(  \frac{2n}{n} \right)< 4^{n} gdy n  \ge 2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2015, o 02:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11149
Lokalizacja: Wrocław
(a) dla n=0 można bezpośrednio sprawdzić, że to jest prawda, podstawiając, zaś dla n>0
zauważmy, że 3^{2n}+4^{n+1}=9\cdot 3^{2n-2}+4\cdot 4^{n}=4(3^{2n-2}+4^{n})+5\cdot 3^{2n-2}, co pokazuje, że łatwo przeprowadzić dowód indukcyjny.

Albo można od razu użyć kongruencji i po zabawie: 3^{2n}=9^{n}=(10-1)^{n}\equiv (-1)^{n}\pmod{5}
oraz 4^{n+1}\equiv(-1)^{n+1}\pmod{5}, toteż 3^{2n}+4^{n+1}\equiv...

(b) nie rozumiem tego oznaczenia pośrodku (moje wątpliwości wzbudziła ta kreska). Nie jest to n-ta liczba Catalana, więc co? Chętnie się dowiem, bo jestem cieniasem ze wszystkiego, co zahacza o dyskretną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2015, o 10:15 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Warszawa
Premislav, Dzięki za pierwsze zadanie i przepraszam za drugie, pisałem o drugej w nocy i jest to nie \left( \frac{2n}{n} \right), a Symbol Newtona {2n \choose n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2015, o 12:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11149
Lokalizacja: Wrocław
Nie ma sprawy.
Sądzę, że w (b) wygodnie jest przeprowadzić dowód indukcyjny: dla n=2 prawda (policz), przy
drugim kroku indukcyjnym będziemy musieli pokazać coś takiego: 2^{n+1} < {2n+2\choose n+1}<4^{n+1}, przy założeniu, że 2^{n}<{2n\choose n}<4^{n}
Wystarczy zatem nam, by dla n \ge 2 było spełnione 2 \le  \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^{2}} \le 4; pokaż obie te nierówności (ograniczenie z dołu jest trywialne, możesz zapisać 2n+1 >n+1, toteż \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^{2}}>... a ograniczenie z góry można wykazać, mnożąc na pałę przez mianownik i licząc), a następnie skorzystaj z tego, że \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^{2}} \cdot {2n\choose n}={2n+2\choose n+1}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna - zadanie 21  Krzysiu91  8
 indukcja matematyczna - zadanie 18  maryjusz  1
 indukcja matematyczna - zadanie 22  Krzysiu91  2
 indukcja matematyczna - zadanie 6  MarlenQs  0
 Indukcja matematyczna - zadanie 44  grzesiek50  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl