szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 11:17 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Wrocław
Mam udowodnić, że

\left( \frac{1}{2}\right) ^{\underline{n+1}}= \left( -1 \right) ^{n+1} \frac{1}{2^{2n+1}}n! {2n \choose n}, gdzie C_{n}= \frac{1}{n+1} {2n \choose n}.

Lewa strona: \left( \frac{1}{2}\right) ^{\underline{n+1}}= \frac{1}{2}  \cdot  \left( -\frac{3}{2} \right) \cdot  \left( -\frac{5}{2} \right) \cdot...\cdot \left( \frac{1}{2}-n \right)... aczkolwiek nie bardzo wiem, jak powiązać to z tym C_{n}.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 13:19 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
C_n jest zawieszone „w próżni”. Czegoś tutaj brakuje.

I czy nie powinno być:

    \frac{1}{2}^{\underline{n+1}}=\frac{1}{2}\cdot\red{\frac{-1}{2}}\black{\cdot}\frac{-3}{2}\cdot\frac{-5}{2}\cdot\ \dots\ \cdot\left(\frac{1}{2}-n\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 15:03 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Wrocław
Tak, przypadkowo pominąłem ten składmik. A polecenie podałem takie, jak napisano - czy bez tej dodatkowej informacji da się to rozwiązać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 15:10 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
No to trzeba na razie zostawić „w spokoju” C_n i udowadniać. Możliwe, że w trakcie wyjdzie coś i to C_n się przyda.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 15:39 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Jak mamy uogólnienia silni pomóc może funkcja gamma. Na wikipedii powinno być \Gamma (n +  \frac{1}{2})
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 17:15 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Ja spróbowałbym dowodu indukcyjnego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 19:11 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
krymeer napisał(a):
\left( \frac{1}{2}\right) ^{\underline{n+1}}= \left( -1 \right) ^{n+1} \frac{1}{2^{2n+1}}n! {2n \choose n}
W tej wersji to nieprawda - dla n równego jeden lewa strona jest dodatnia, a prawa ujemna. Powinno być (-1)^n.

Udowodnienie tego polega na standardowych przekształceniach:
\left( \frac{1}{2}\right) ^{\underline{n+1}}= \frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac{1}{2}-n \right) = \\ =
(-1)^n \cdot \frac{1}{2^{n+1}}\cdot  \prod_{k=1}^{n} (2k-1) = (-1)^n \cdot \frac{1}{2^{n+1}}\cdot  \frac{\left( \prod_{k=1}^{n} (2k-1)\right)  \cdot \left( \prod_{k=1}^{n} 2k\right) }{\prod_{k=1}^{n} 2k}= \ldots

Jak prościej zapisać licznik? Co można wyłączyć przed znak iloczynu w mianowniku?

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozpisać - silnia  virnoy  2
 permutacje i silnia  koszerny_rozum  3
 Silnia - zadanie 6  Trampek  2
 Dolna silnia - zadanie 2  Pan_Szesnasty  0
 silnia n - zadanie 3  bialastbg  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl