szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 13:48 
Użytkownik

Posty: 290
Lokalizacja: Polska
Mam pytanie o badanie monotoniczności z użyciem pochodnych.

Dajmy na to że że funkcja jest określona na \RR i jest ciągła w całej dziedzinie, a po sprawdzeniu kiedy f'(x)>0 okazuje się że jest tak dla x \in \RR  \setminus \{2\}.
W tym wypadku powołując się na pochodną, powinienem powiedzieć, że funkcja jest rosnąca w x \in \RR  \setminus \{2\}, lecz czy mogę powiedzieć że jest rosnąca w całym \RR? W końcu jest ciągła w całej dziedzinie. Jak postąpić w takim przypadku? zostawić zbiór bez 2 tak jak wynika z pochodnych czy dorzucić tę dwójkę i dać odpowiedź że funkcja rośnie w całej dziedzinie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 16:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1229
A co to za funkcja konkretnie? I przede wszystkim, czy na całej prostej spełnia założenia drugiego twierdzenia o wartości średniej? Jeśli spełnia te założenia tylko dla x\in\mathbb{R}\setminus\lbrace 2\rbrace, to na pewno nie. Jeśli spełnia, to w punkcie x = 2 może mieć po prostu punkt przegięcia, jak np funkcja f(x) = x^3 w zerze. Pochodna w zerze się zeruje, natomiast funkcja jest rosnąca w otoczeniu zera (nawet na całej prostej).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 17:30 
Użytkownik

Posty: 290
Lokalizacja: Polska
Np funkcja f(x)=x-\arcsin(x)
Wtedy f'(x)=1-\frac{1}{1+x^2}<0 dla x \in D_f \setminus{\{0\}}
Więc teoretycznie powołując się na twierdzenie o monotoniczności na podstawie znaku pochodnej mogę dac odpowiedź, że funkcja jest malejąca dla x \in D_f \setminus{\{0\}}, ale wydaje mi się że skoro jest ciągła w całej dziedzinie to tak na prawde w tym przypadku jest malejąca w całej dziedzinie, więc odpowiedzią mogłoby być x \in D_f .
Która odpowiedź jest poprawna?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 17:32 
Administrator

Posty: 22935
Lokalizacja: Wrocław
ms7 napisał(a):
Np funkcja f(x)=x-\arcsin(x)
Wtedy f'(x)=1-\frac{1}{1+x^2}>0 dla x \in \mathbb{R} \setminus{\{0\}}

Hmm... Naprawdę uważasz, że funkcja \arcsin(x) jest określona na całej prostej?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 17:38 
Użytkownik

Posty: 290
Lokalizacja: Polska
ahhh faktycznie, oczywiscie ze nie jest, co nie zmienia faktu ze jest problem w zerze

edit. poprawilem poprzedni post
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 17:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1229
To fajne narzędzie do określania monotoniczności za pomocą znaku pochodnej jest wnioskiem z drugiego twierdzenia o wartości średniej, które mówi, że jeśli dana jest funkcja ciągła na odcinku [a,b], oraz różniczkowalna w jego wnętrzu, to istnieje taka liczba \theta\in(0,1), że

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(a+\theta(b-a)). Spróbuj wywnioskować to z tego twierdzenia - to nie jest trudne.

Dlatego, kiedy korzystasz z tego "fajnego narzędzia" musisz uważać, żeby założenia twierdzenia o wartości średniej były spełnione.

Pochodną funkcji definiuje się (tylko :D ) w punktach, w których ta funkcja jest określona. Ba! Pojęcie monotoniczności nie ma sensu w "miejscach", w których funkcja nie jest określona.

Zadanie kontrolne: określ monotoniczność funkcji danej wzorem

f(x) = \frac{1}{x}

najpierw używając "fajnego narzędzia", a potem sprawdź, czy to, co Ci wyszło jest odzwierciedlone na wykresie tej funkcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 17:51 
Użytkownik

Posty: 290
Lokalizacja: Polska
f(x) = \frac{1}{x} jest malejąca w przedziałach (-\infty;0), (0;\infty), jest tak i na wykresie i zgadza się ze znakiem pochodnej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 17:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1229
Ok. Widzisz czemu mówienie o monotoniczności tej funkcji dla x\in\(-1,1) nie ma sensu?

Co innego w przypadku funkcji x^3, możesz też zastanowić się nad funkcją \sqrt[3]{x}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 18:02 
Użytkownik

Posty: 290
Lokalizacja: Polska
Wiem chyba co masz na myśli, z tym że patrząc na wykres f(x)=x-\arcsin(x) jest on w całym tym przedziale malejący.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 18:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1229
Tak, bo ta funkcja jest ciągła i w zerze ma po prostu punkt przegięcia. Sytuacja jak w x^3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 290
Lokalizacja: Polska
Czyli podsumowując, mogę powiedzieć że rośnie w całej dziedzinie czy musze to rozbic na dwa przedzialy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 21:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1229
W całej dziedzinie, tak. Ale czy cała dziedzina jest całą prostą? o_O
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Monotoniczność a suma przedziałów  Falwick  1
 Dowód na monotoniczność funkcji - zadanie 2  rokku  8
 Monotonicznosc - zadanie 9  HIHO  2
 Funkcja złożona z punktów a monotoniczność  GluEEE  4
 zbadaj monotoniczność  sad  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl