szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 16:35 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Wrocław
Potrzebuję znaleźć kolejne zwarte postaci sum:

\sum_{k}^{}= {n \choose k}  \frac{1}{k-1}
\sum_{k}^{}= {n \choose k}  \frac{(-1)^{k}}{k-1}

...tym razem jednak profesor nie zawarł żadnej wskazówki, z czego powinienem skorzystać. W przypadku pierwszej sumy mam w ogóle wątpliwości, od jakiego argumentu zaczyna się zliczanie - w końcu dla k=0 mamy {n \choose 0}  \cdot -1, a dla k=1 dzielimy przez 0...
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 16:38 
Użytkownik

Posty: 7360
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Rozważ wielomian (x+1)^{n} rozpisz z dwumianu i scałkuj.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 16:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Wygląda to trochę beznadziejnie. Należy zacząć od ustalenia granic sumowania. Mathematica daje takie wyniki:

Kod:
1
2
1/2 (-1 + n) n HypergeometricPFQ[{1, 1, 2 - n}, {2, 3}, -1]
n (-1 + EulerGamma + PolyGamma[0, 1 + n])


Przyjęłam konwencję, że liczymy \sum_{k=2}^n  \dots.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 16:55 
Użytkownik

Posty: 14748
Lokalizacja: Bydgoszcz
Medea 2 napisał(a):
Wygląda to trochę beznadziejnie. Należy zacząć od ustalenia granic sumowania. Mathematica daje takie wyniki:

Kod:
1
2
1/2 (-1 + n) n HypergeometricPFQ[{1, 1, 2 - n}, {2, 3}, -1]
n (-1 + EulerGamma + PolyGamma[0, 1 + n])


Przyjęłam konwencję, że liczymy \sum_{k=2}^n  \dots.


To (x+1)^n bez programu się nie da scałkować :roll:
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 mar 2015, o 17:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Da się, ale tam jest k-1, a nie k+1, jak to poprawić?

\int (x+1)^n \, \textrm{d}x = \int \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k \, \textrm{d}x = \sum_{k=0}^n {n \choose k}\int  x^k \, \textrm{d}x = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{x^{k+1}}{k+1} \, \textrm{d}x
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2015, o 23:32 
Użytkownik

Posty: 14748
Lokalizacja: Bydgoszcz
W encyklopedii "Intiegrały i rjady" znalazłem taką sumę:
\sum_{\substack{k=0\\k\neq m}}^n \frac{(-1)^k}{m-k}\binom{n}{k}=(-1)^n\binom{n}{m}\left(\sum_{k=1}^{n-m}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2015, o 10:35 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
\sum \binom{n}{k} \frac{x^k}{k-1}=x\sum\binom{n}{k}\frac{x^{k-1}}{k-1}=\\
\\
=x\sum\binom{n}{k}\int x^{k-2}\dd x=x\int \sum \binom{n}{k}x^{k-2}\dd x=\ldots
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2015, o 10:55 
Użytkownik

Posty: 14748
Lokalizacja: Bydgoszcz
yorgin, fakt, ale to się wcale fajnie nie całkuje
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zwarta postać sumy - zadanie 13  aolo23  1
 Zwarta postać sumy - zadanie 5  krymeer  2
 Zwarta postac sumy - zadanie 10  Gofer33  2
 Zwarta postac sumy - zadanie 8  timus221  18
 Zwarta postać sumy - zadanie 12  splinter  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl