szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2015, o 21:52 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Stalowa Wola
Czy to zdanie jest prawdziwe?
Nie każdy tensor jest formą różniczkową.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 17 mar 2015, o 22:08 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2815
Lokalizacja: Warszawa
Tak jest prawdziwe. Formy to bardzo konkretne tensory - całkowicie kowariantne tensory antysymetryczne.

Swoją drogą to ja bym rozróżniał formy (tensory) od form różniczkowych (pól tensorowych), pierwsze to działka algebry, drugie - geometrii różniczkowej :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2016, o 02:05 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Stalowa Wola
Czyli jeśli mamy taką formę różniczkową:\omega_{1} = f(x) dx + g(y) dy + h(z) dz to jaka jest macierz tego tensoru (bo tensor to macierz)?

Jeśli mamy taką formę: \omega_{2} = f(x) dy \wedge dz + g(y) dz \wedge dx + h(z) dx \wedge dy
to macierz wygląda tak:
\begin{bmatrix} 0&h(z)&0\\0&0&f(x)\\g(y)&0&0\end{bmatrix}

Czy forma różniczkowa jest formą linową? Nie każda forma liniowa jest formą różniczkową?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 mar 2016, o 12:23 
Użytkownik

Posty: 197
AiDi napisał(a):
Swoją drogą to ja bym rozróżniał formy (tensory) od form różniczkowych (pól tensorowych), pierwsze to działka algebry, drugie - geometrii różniczkowej :P


Z tego co widziałem to różni autorzy różnie definiują formy różniczkowe: Musielak i Skrzypczak w swojej analizie matematycznej definiują formy różniczkowe jako antysymetryczne tensory kowariantne, natomiast Górniewicz i Ingarden jako funkcje, które punktom przyporządkowują tensory. Dziwne. To co Górniewicz i Ingarden nazywają formami różniczkowymi, ja bym raczej nazwał polem form różniczkowych.

hubble napisał(a):
Czyli jeśli mamy taką formę różniczkową:\omega_{1} = f(x) dx + g(y) dy + h(z) dz to jaka jest macierz tego tensoru (bo tensor to macierz)?


Tensor to funkcja. Np. w przypadku tensora dwukrotnie kowariantnego tensor T to funkcja: T: \ V \times V  \rightarrow K, gdzie V to przestrzeń liniowa nad ciałem skalarów K, taka że T(\cdot, \ v), T(v,\ \cdot) (ustaliłem jedną zmienną) są przekształceniami liniowymi. Tensory, to funkcje, które wektorom przyporządkowują liczby. Tensory same też tworzą przestrzeń liniową, więc można mówić o ich współrzędnych w bazie. Ponieważ tensor w danej bazie całkowicie wyznaczają jego współrzędne, to często tensory utożsamia się z ich współrzędnymi (fizycy bardzo często nazywają tensorami ich współrzędne). Jak tensor przyjmuje tylko dwie zmienne, to współrzędne można ułożyć w macierz, stąd to nieporozumienie.

Natomiast formy różniczkowe to pewne szczególne tensory.

-- 8 mar 2016, o 12:26 --

hubble napisał(a):
Czy forma różniczkowa jest formą linową? Nie każda forma liniowa jest formą różniczkową?
Wyrażenia: funkcjonał liniowy, forma liniowa, (jedno)tensor to synonimy. Forma różniczkowa jest pewną szczególną formą liniową, ale nie każda forma liniowa to forma różniczkowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 mar 2016, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Stalowa Wola
PLrc napisał(a):

Tensor to funkcja. Np. w przypadku tensora dwukrotnie kowariantnego tensor T to funkcja: T: \ V \times V  \rightarrow K, gdzie V to przestrzeń liniowa nad ciałem skalarów K

To mi wygląda na tensor kontrawariantny. Kowariantny by był wówczas, gdzy V to przestrzeń dualna(sprzężona).

Tensor można przedstawić jako macierz. Więc jakie są macierze tych form różniczkowych?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 mar 2016, o 14:29 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2815
Lokalizacja: Warszawa
PLrc napisał(a):
To co Górniewicz i Ingarden nazywają formami różniczkowymi, ja bym raczej nazwał polem form różniczkowych.


Formy różniczkowe=pola form=cięcia wiązki kostycznej lub jej zewnętrznej potęgi, czyli tak jak definiuje Ingarden. Tak obecnie się to definiuje i tak się standardowo naucza. "Różniczkowa" odnosi się do rozmaitości różniczkowej.

Cytuj:
w swojej analizie matematycznej


Standardów trzeba szukać w książkach z geometrii różniczkowej :wink: Na analizie dużo rzeczy się utożsamia ze sobą.

hubble napisał(a):
To mi wygląda na tensor kontrawariantny.


Nie, jest kowariantny, dwukrotnie. "Wyrazy macierzowe" miałyby indeksy dolne.

Cytuj:
Tensor można przedstawić jako macierz. Więc jakie są macierze tych form różniczkowych?


dx=[1,0,0], itd, jak to zwykle dla bazy dualnej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 mar 2016, o 15:08 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Stalowa Wola
No dobra. A dla takiej \omega_{2} = f(x) dy \wedge dz + g(y) dz \wedge dx + h(z) dx \wedge dy formy jak będzie wyglądać macierz?

Da się ten tensor T: \ V \times V \rightarrow K "przerobić" na dwukrotnie kontrawariantny przez zmianę argumentów na przestrzenie dualne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 mar 2016, o 20:03 
Użytkownik

Posty: 197
AiDi napisał(a):
Formy różniczkowe=pola form=cięcia wiązki kostycznej lub jej zewnętrznej potęgi, czyli tak jak definiuje Ingarden.
Dobra, to będę się tego trzymał:

hubble napisał(a):
No dobra. A dla takiej \omega_{2} = f(x) dy \wedge dz + g(y) dz \wedge dx + h(z) dx \wedge dy formy jak będzie wyglądać macierz?

Pomyślmy. Jeżeli to jest forma różniczkowa na podzbiorze otwartym U \subset \mathbb{R}^n, to wtedy \omega(x,\ y,\ z) przyjmuje jako argumenty wektory z \mathbb{R}^n. Macierz formy dwuliniowej F w bazie uporządkowanej (e_i)_{i=1}^n to macierz (F(e_i,\ e_j))_{i,\ j=1}^n W tym wypadku to będzie macierz (\omega(x,\ y,\ z)(e_i, e_j))_{i,\ j=1}^3, e_1=(1,0,0), \ e_2=(0,1,0), \ e_3=(0,0,1)
Mamy: dx(x,\ y,\ z)=x, dy(x,\ y ,\ z)=y, dz(x,\ y,\ z)=z. Oprócz tego: dx  \wedge dy=dx \otimes dy-dy \otimes dx itd. Zatem:
\omega(x,\ y,\ z)(e_1, e_2)=f(x)(dy \otimes dz-dz \otimes dy)(e_1, \ e_2)+g(y)(dz \otimes dx-dx \otimes dz)(e_1, \ e_2)+h(z)(dx \otimes dy-dy \otimes dx)(e_1,\ e_2)=h(z)(dx(e_1)dy(e_2)-dy(e_1)  dx(e_2))=h(z) \cdot 1 \cdot 1=h(z)

Postępując w ten sposób dalej chyba wyjdzie nam macierz \begin{pmatrix}0&h(z)&-g(y)\\-h(x)&0&f(x)\\g(y)&-f(x)&0\end{pmatrix}. Wyszła antysymetryczna, tak jak powinna :D

-- 8 mar 2016, o 23:08 --

hubble napisał(a):
Da się ten tensor T: \ V \times V \rightarrow K "przerobić" na dwukrotnie kontrawariantny przez zmianę argumentów na przestrzenie dualne?

Chyba chciałeś spytać, czy da się przerobić zamieniając dziedzinę na iloczyn przestrzeni dualnych: T:\ V^*\times V^* \rightarrow K Jak mamy pole tensora metrycznego, to możemy "przerabiać" tensory kowariantne na kontrawariantne i odwrotnie. Możesz o tym poczytać tu: https://pl.wikipedia.org/wiki/Izomorfizm_muzyczny
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 forma różniczkowa  mmarry  0
 cyrkulacja pola wektorowego (pole nie jest potencjalne)  wisnia7  2
 Forma różniczkowa.  esserpmi  0
 Forma różniczkowa - zadanie 2  patricia__88  1
 Forma pierwotna  Hirakata  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl