szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2015, o 22:05 
Użytkownik

Posty: 16
Witam,
czy jest jakiś sposób by znaleźć minimum takiej oto funkcji: y=x+ \frac{4}{x} (ogólnie chodzi mi o funkcje wymierne) bez używania bardziej zaawansowanej matematyki typu analiza matematyczna, lecz na poziomie liceum?

EDIT: dla x>0
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2015, o 22:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18210
Lokalizacja: Cieszyn
Jeśli a,b>0, to średnia arytmetyczna jest większa (lub równa) od geometrycznej, więc a+b\ge 2\sqrt{ab{, co sprawdzasz wzorami skróconego mnożenia. Dlatego przy x>0 mamy y\ge 2\sqrt{4}=4 i równość mamy dla x=2. Dla x<0 minimum nie istnieje, bo y\to-\infty przy x\to 0^-.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2015, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 7352
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Weź ciąg a_{n}= \frac{1}{ 2^n } co można powiedzieć o ciągu f(a_{n})
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2015, o 23:52 
Użytkownik

Posty: 16
W międzyczasie zrobiłem to w taki sposób:
Szukamy minimalnej wartości a, dla której x+ \frac{4}{x} \ge a.
Z założenia szukamy minimum dla x>0, więc można pomnożyć obustronnie nierówność przez x i otrzymać:
x^{2}-ax+4 \ge 0
Jest to więc parabola, która albo ma podwójne miejsce zerowe, albo dwa różne miejsca zerowe. Stąd:
x= \frac{a   \pm \sqrt{ a^{2}-16 } }{2}
a ^{2}-16  \ge  0
a  \ge 4  \cup  a \le -4
Odrzucamy wartości a \le -4, bo szukamy minimum tylko dla x \ge 0, a dla takich argumentów a zawsze będzie wynosiło co najmniej zero (wynika to z pierwszej nierówności).
Minimalne a z a \ge 4 to a=4. Tyle wynosi minimum funkcji y=x+ \frac{4}{x} dla x \ge 0.

Co o tym sądzicie?

PS: Na propozycje wymienione przez Kartezjusza i szw1710 spojrzę jutro, bo już trochę późno. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2015, o 23:59 
Użytkownik

Posty: 314
Lokalizacja: Puławy
Andrzej_WD napisał(a):
Witam,
czy jest jakiś sposób by znaleźć minimum takiej oto funkcji: y=x+ \frac{4}{x} (ogólnie chodzi mi o funkcje wymierne) bez używania bardziej zaawansowanej matematyki typu analiza matematyczna, lecz na poziomie liceum?

EDIT: dla x>0


Tak btw, pochodne aktualnie są w programie liceum.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 mar 2015, o 00:03 
Użytkownik

Posty: 7352
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Teraz tak. Dla funkcji potęgowych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 mar 2015, o 00:16 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
To co zrobiłeś ma sens.
Bo ogólnie można się zastanowić ile rozwiązań może mieć równanie x+ \frac{4}{x}=a w zależności od parametru a.
A równanie to sprowadza się do x^{2}-ax +4=0
A zatem ilość rozwiązań zależy od delty i dla:
a \in \left( -4;4\right) nie istnieją rozwiązania (delta ujemna)
a \in (- \infty ;-4> istnieją dwa lub konkretnie dla "-4" jedno rozwiązanie (i to wiąże się z istnieniem maksimum) (delta większa, równa 0)
a \in <4;+ \infty ) istnieją dwa lub konkretnie dla "4" jedno rozwiązanie (i to wiąże się z istnieniem minimum) (delta większa, równa 0)
A zatem wartość najmniejsza to "4".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 mar 2015, o 13:19 
Użytkownik

Posty: 16
Ok, cieszę się, że mój sposób jest w porządku. Podoba mi się też rozwiązanie szw1710, dziękuję. :)

Jednak jak narazie nie widzę, o co chodzi z tym ciągiem podanym przez Kartezjusza:
Kartezjusz napisał(a):
Weź ciąg a_{n}= \frac{1}{ 2^n } co można powiedzieć o ciągu f(a_{n})

Ktoś wyjaśni?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.  Anja  4
 Badanie różnowartościowości funkcji.  Anonymous  1
 Badanie parzystości funkcji.  jackass  5
 Wyznaczanie asymptot funkcji f(x)=sqrt(x^2+x+1)-1-(1/x)  bartekf  1
 Skracanie w nierówności wymiernej.  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl