Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Elemenatarne Zadania z Kombinatoryki

Strona 1 z 1

[ Posty: 8 ]

Autor

Wiadomość

mac18

Tytuł: Elemenatarne Zadania z Kombinatoryki

Napisane: 23 mar 2015, o 19:54

Posty: 313
Lokalizacja: Warszawa

Witam Serdecznie

Mam do zrobienia 140 zadań elementarnych z kombinatoryki, jednak do pierwszych i najważniejszych 36 nie mam niestety odpowiedzi.
Są to zadania dosyć krótkie i podstawowe, zależy mi więc na ich dobrym opanowaniu.
Każde zadanie postaram się zrobić samodzielnie, prosiłbym o pomoc w razie problemów i wyłapanie błędów.

Mam jeszcze pytanie do Pana Moderatora czy takie zabawy są dopuszczalne czy też należy umieścić każde pojedyncze zadanie w odrębnym temacie ?

No to zaczynamy.

1. Iloma sposobami możemy napełnić $6$ różnych filiżanek, dysponując dwoma gatunkami zaparzonej herbaty ?

$2^6$

2. Pięć osób ma do dyspozycji $6$ rodzajów filiżanek i $2$ różne gatunki zaparzonej herbaty. Iloma sposobami mogą się napić ?

No to tak, mamy $5$ osób. Każda z nich może wybrać filiżankę na $6$ sposobów a następnie wybrać herbatkę na $2$ sposoby.

Odpowiedź znaleziona w starych notatkach to:
$6^{2}*5$
jakby $5$ osób podchodziło i chciało wypić dwie herbaty i potrzebuje do tego dwóch filiżanek, które można wybrać na $6$ sposobów każda.

3. Piotr ma do dyspozycji koperty w $8$ kolorach i papier listowy w $6$ kolorach. Ile różnych listów może wysłać ?

$6\cdot8=48$

4. Na ile sposobów można wybrać $3$ -osobowy samorząd klasowy w klasie $25$ - osobowej.

$25\cdot24\cdot23$

5. Na ile sposobów można rozdać w tejże klasie $3$ bilety do teatru?[/tex]

Bilety nie są rozróżnialne, tzn. jeśli jaś dostanie dwa i tola dostanie jeden to wychodzi na to samo jakby jaś dostał jeden, tola jeden i jaś jeden.

Wg. mnie ${25 \choose 3}$

6. Na ile sposobów można rozdać w tejże klasie $3$ bilety do trzech różnych teatrów ?

$25\cdot\ 24\cdot23$

7. Ile reakcji chemicznych uda się przeprowadzić, jeżeli dysponujemy $5$ składnikami i łączymy ze sobą po trzy składniki w jednakowych ilościach. Odpowiedz, jeśli kolejność dodawania składników
a) odgrywa rolę
b) nie odgrywa roli

Zacznę od b). Po prostu na ile sposobów możemy wybrać $3$ składniki z $5$ dostępnych.
${5 \choose 3}$

a) $5\cdot4\cdot3$

8.Alfabet Morse`a składa się z dwóch różnych elementów: kreski i kropki. Ile znaków pisarskich można utworzyć z tych elementów, jeśli każdy znak zajmuje $5$ miejsc oznaczonych kreskami lub kropkami?

$2^5$

11.Ile jest kodów czterocyfrowych, które na pierwszym i ostatnim miejscu mają różne cyfry?
$10^3\cdot9$

16. Na ile sposobów można wypełnić kupon tot-lotka (skreślamy $6$ z $49$ liczb)?
${49 \choose 6}$

18. $4$ tomy układamy na półce w sposób losowy. Ile jest takich ustawień?
$4!$

19. Iloma sposobami mogą wejść do wagonu $4$ osoby przy założeniu, że wchodzą pojedynczo i tylko tylnym wejściem ?

Chyba też $4!$

20. Sekretarka w biurze napisała $5$ listów i zaadresowała $5$ kopert. Na ile sposobów mogła powkładać listy do kopert ?

Każdy z $5$ listów mogę włożyć do jednej z $5$ kopert. Niektóre mogą być puste.
$5^5$

21. Ile liczb większych od $7$ milionów, a mniejszych od $8$ milionów możemy utworzyć przestawiając cyfry liczby $3708925$ ?

$1\cdot6!$

22. Ile liczb większych od $7$ milionów, możemy utworzyć przestawiając cyfry liczby $3708925$ ?

$3\cdot6!$

23. Ile liczb będących wielokrotnościami $5$ możemy utworzyć, przestawiając cyfry $102534$ ?

Wydaję mi się, ze wyjątkowo $0$ może być na początku.
$5!\cdot2$

26. Do tramwaju składającego się z dwóch wagonów wsiada $5$ pasażerów. Na ile sposobów mogą się rozmieścić?

$2^5$

30. Na ile sposobów można przydzielić pięciu robotnikom $6$ rodzajów zajęć tak, aby każdy robotnik miał inne zajęcie?

Każdemu robotnikowi przyporządkowuje inne zajęcie. Pierwszemu mogę to zrobić na $6$ , drugiemu na $5$ ... sposobów.

$6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2$

33. Ile odcinków mogę zbudować, łącząc parami $12$ punktów należących do okręgu?

$\left| AB\right| = \left| BA\right|$
Więc albo ${12 \choose 2}$ , albo $\frac{12\cdot11}{2}$ . Wychodzi chyba to samo.

34. Ile trójkątów można zbudować w oparciu o punkty z poprzedniego zadania ?
${12 \choose 3}$

35. Ile przekątnych ma ośmiokąt wypukły ?

Z jednego punku nie mogę puścić przekątnych do sąsiednich punktów i do siebie samego, więc wydaję mi się, że:
$\frac{8\cdot5}{2}$

36. Ile różnych płaszczyzn można poprowadzić w przestrzeni trójwymiarowej przez $4$ punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie ?

Tu nie czaję kompletnie. Do poprowadzenia płaszczyzny potrzebne są mi $2$ czy $3$ punkty ?

Jeśli coś jest dobrze to nie ma co sobie zawracać tym głowy. Jest ich mniej niż $36$ , bo pominiętych byłem pewien.
Pozdrawiam

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018

Góra

szachimat Offline

Tytuł: Elemenatarne Zadania z Kombinatoryki

Napisane: 23 mar 2015, o 20:19

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie

Ad 1 - tak
Ad 2 - nie wiem
Ad 3 - tak
Ad 4 - kolejność jest nieistotna - kombinacje (chyba, że jest jakieś dodatkowe założenie)
Ad 5 - tak
Ad 6 - literówka - zamiast 4 chyba ma być 24
Ad 7 - tak
Ad 8 - tak
Ad 11 - tak
Ad 16 - tak

Pozostałe dopiero będę czytał, bo trochę tego jest.

Góra

mac18

Tytuł: Elemenatarne Zadania z Kombinatoryki

Napisane: 23 mar 2015, o 20:27

Posty: 313
Lokalizacja: Warszawa

Ad.4 Nie jest to zawarte w poleceniu, ale wydawało mi się, że kolejność jest istotna. Gospodarz, Zastępca i skarbnik.
Chociaż może faktycznie ?
${25 \choose 3}$ jeśli kolejność nie gra znaczenia.

Ad.6 Tak, literówka, poprawiłem.

Góra

szachimat Offline

Tytuł: Elemenatarne Zadania z Kombinatoryki

Napisane: 23 mar 2015, o 20:34

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie

W czwartym raczej ta druga wersja
Ad 19 - tak
Ad 19 - tak
Ad 20 - nie rozumiem tego, że "Niektóre mogą być puste" (mogła włożyć 5 listów do jednej koperty? nielogiczne)
Ad 21 - tak
Ad 22 - tak
Ad 23 - niezbyt precyzyjna treść i Twoja opcja jest do przyjęcia
Ad 26 - tak
Ad 30 - tak
Ad 33 - tak
Ad 34 - tak
Ad 35 - tak
Ad 36 - 4 po 3 - płaszczyznę wyznaczają w sposób jednoznaczny 3 punkty

Góra

mac18

Tytuł: Elemenatarne Zadania z Kombinatoryki

Napisane: 23 mar 2015, o 20:40

Posty: 313
Lokalizacja: Warszawa

Ad. 20 Haha

Trochę mnie poniosło. Jak to powinno być zrobione ?
Pomyślmy, jeden list, jedna koperta $5!$ ?

Ad. 36 ${4 \choose 3}$

Góra

szachimat Offline

Tytuł: Elemenatarne Zadania z Kombinatoryki

Napisane: 23 mar 2015, o 20:44

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie

Ad 20 - tak jak poprawiłeś

Szach i Mat :wink:

Góra

mac18

Tytuł: Elemenatarne Zadania z Kombinatoryki

Napisane: 23 mar 2015, o 20:46

Posty: 313
Lokalizacja: Warszawa

Dzięki Wielkie !
Jeszcze mógłby mi ktoś drugie wytłumaczyć

Góra

szachimat Offline

Tytuł: Elemenatarne Zadania z Kombinatoryki

Napisane: 23 mar 2015, o 21:02

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie

Ad 2 - moja koncepcja:
Jeżeli filiżanki oznaczymy jako: ABCDEF, to można przyjąć oznaczenie "Ah1" jako herbata pierwszego typu w filiżance A.
A zatem pierwsza osoba ma wybór spośród 12 (powiedzmy, że wybrała właśnie Ah1)
Druga osoba nie może już wybrać filiżanki A, a zatem ma wybór spośród 10 (np. wybrała Bh2)

Czyli łącznie: ${12 \choose 1} \cdot {10 \choose 1} \cdot {8 \choose 1} \cdot {6 \choose1} \cdot {4 \choose 1}$

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 8 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Zadania testowe - pemutacje, zwracanie :)	Anonymous	2
2 zadanka z kombinatoryki. kule i drzewka ;)	Margaretta	6
Trudne zadanie z kombinatoryki...	Anonymous	6
"czytelnicze" zadanie z kombinatoryki	garet	3
3 zadania...	Ciapanek	2

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]