szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Silnia z Zero
PostNapisane: 24 mar 2015, o 03:05 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Leszno
Witam. Ostatnio na wykładach z Matematyki Dyskretnej było poruszane coś odnośnie silni. Wiadomym jest, iż silnia jest funkcją rekurencyjną i
!n = 1  \cdot  2  \cdot  3  \cdot  ...  \cdot  n

Wiem też, że
!1 = 1

Oraz
!2 = 1  \cdot  2 = 2

No i
!3 = 1  \cdot  2  \cdot  3 = 2  \cdot  3 = 6
...i tak dalej...

Natomiast było też pokazane, że:
!0 = 1

Dlaczego i jakim cudem ?? Czy silnia z zera nie powinna wynosić zero (0) ??

I jeszcze jedno pytanko. Czy istnieje coś takiego, jak silnia z liczb ujemnych ? Jeżeli tak, to jak się ją wylicza, a jeżeli nie, to dlaczego nie istnieje ??
To pytanka, które zaczęły mnie ostatnio nurtować. Z góry dziękuję za odpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Silnia z Zero
PostNapisane: 24 mar 2015, o 07:17 
Użytkownik

Posty: 15343
Lokalizacja: Bydgoszcz
Po pierwsze, nie !5 lecz 5!.
Jest co najmniej parę powodów, dla których wygodnie jest przyjąć, że 0!=1. Pierwszy to taki, że n! dla n\geq 1 oznacza ilość permutacji zbioru n-elementowego. Zbiór pusty ma 0 elementów, więc istnieje jeden sposób na jego przestawienie.
Drugi jest taki, że silnię można określić wzorem rekurencyjnym n!=n\cdot(n-1)!. Gdyby złożyć, że 0!=0, to ten wzór nie byłby prawdziwy dla n=1.
Trzeci to twierdzenie Bohra-Mollerupa, które mówi, że jeżeli f jest logarytmicznie wypukła, f(1)=1 i spełnia warunek zf(z)=f(z+1) (czyli taki warunek jak silnia, tyle że dla liczb rzeczywistych), to tą funkcja musi być funkcja
\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt.
Wtedy dla naturalnych n mamy \Gamma(n)=(n-1)!. Dla n=1 mamy z jednej strony \Gamma(1)=1, a z drugiej \Gamma(1)=0!.

Kolejne konsekwencje tego wygodnego podejścia to np. wzór \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}, którego prawa strona - przy założeniu 0!=0 nie miałby sensu dla k=n, a lewa nadal oznaczałaby ilośc sposobów wybrania zbioru n-elementowego ze zbioru n-elementowego.

Funkcja \Gamma jest dobrze określona dla wszystkich liczb, za wyjątkiem 0,-1,-2,\dots. Więcej informacji na Wiki - poszukaj funkcji Gamma.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Silnia z Zero
PostNapisane: 24 mar 2015, o 12:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12727
Lokalizacja: Kraków
Nitr0Skay napisał(a):
Natomiast było też pokazane, że:
!0 = 1

Dlaczego i jakim cudem ?? Czy silnia z zera nie powinna wynosić zero (0) ??

Tego raczej się nie pokazuje, tylko definiuje. Bez tego definicja silni jest niekompletna.

Ktoś już próbował tego "dowodzić" na forum (369519.htm - tematyka wydzielona z innego tematu). Jeżeli masz czas, polecam dydaktyczną lekturę na temat definicji silni (wystarczy pierwsza strona).
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Silnia z Zero
PostNapisane: 25 mar 2015, o 02:39 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Leszno
Zatem silnia to po prostu ilość permutacji danego zbioru - permutacji a więc oryginalnych możliwości przedstawiania tego zbioru, dobrze to rozumiem ?

Zatem i jedynka i zero mają tylko jedną możliwość prezentacji, a więc silnia z tych liczb wynosi 1. Natomiast silnia z dwóch wynosi też dwa, bo na dwa różne sposoby możemy przestawić ten zbiór, czyż nie ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Silnia z Zero
PostNapisane: 25 mar 2015, o 07:41 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Lokalizacja
Nitr0skay dokładnie, to co ten pan wyliczył w pierwszej odpowiedzi to bez komentarza, chyba jakiś profesor. 0! powinna wynosić 0, bo 0  \cdot  (0-(-1) = 0  \cdot  (0+1) = 0  \cdot  1 = 0
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Silnia z Zero
PostNapisane: 25 mar 2015, o 08:20 
Użytkownik

Posty: 15343
Lokalizacja: Bydgoszcz
xHanSolo napisał(a):
0! powinna wynosić 0, bo nie ma tu żadnych mnożeń.


Biały znak z czerwoną obwódką i w środku liczba 50 oznacza ograniczenie prędkości do 50km/h. Rozumując tak jak Ty, taki znak ale bez liczby oznacza, że można tu jechac z dowolna prędkościa. A jednak jest inaczej.

POdałem kilka argumentów, które świadczą o tym, że WYGODNIE jest przyjąc 0!=1.
Co więcej, cały matematyczny swiat się z nimi zgadza. Jeżeli masz chęć, możesz na własny użytek przyjąc inną konwencję. ALe musisz o tym wyraźnie napisać, bo inaczej po prostu oblejesz maturę.

Argument, że "tu nie ma żadnych mnożeń" jest słąby: skoro nic się nie robi, to nic sie nie zmienia. Operacją mnożenia, która nie zmienia nic jest mnożenie przez 1 (a nie przez zero), więc warto jednak przyjąć 0!=1
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Silnia z Zero
PostNapisane: 25 mar 2015, o 11:32 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Leszno
Dobra, dzięki za pomoc. Już mniej więcej to rozumiem ;)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Silnia z Zero
PostNapisane: 25 mar 2015, o 13:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12727
Lokalizacja: Kraków
xHanSolo napisał(a):
Nitr0skay dokładnie, to co ten pan wyliczył w pierwszej odpowiedzi to bez komentarza, chyba jakiś profesor. 0! powinna wynosić 0, bo 0  \cdot  (0-(-1) = 0  \cdot  (0+1) = 0  \cdot  1 = 0

Co ma piernik do wiatraka?

0! jest zdefiniowaną wielkością, nie wyznaczalną. Koniec tematu.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rownanie z silnia  chillout89  1
 Silnia n  Poaland  2
 Dolna silnia  jahsiotr  1
 Dziedzina równania z silnią  pawel14  6
 Symbol Newtona, Silnia  Piotrek172  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl