szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 mar 2015, o 16:23 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Podkarpacie
proszę o pomoc, ponieważ utknęłam i nie wiem, jak dalej to pociągnąć.

Wykaż indukcyjnie, że:
1. n!\ge  n^{ \frac{n}{2} } dla n>0

No więc dla n=1 L \ge P

dla n+1;
teza: \left( n+1\right)! \ge  \left( n+1\right) ^{ \frac{n+1}{2} }
dowod:\left( n+1\right)n! \ge  \left( n+1\right) ^{ \frac{n+1}{2} }  / n+1
n! \ge  \frac{(n+1)}{n+1}  ^{ \frac{n+1}{2} }

teraz wystarczy wykazać, żen^{ \frac{n}{2} } \ge \frac{(n+1)}{n+1}  ^{ \frac{n+1}{2} }

zatem znowu teza:(n+1)^{ \frac{n+1}{2} } \ge \frac{(n+2)}{n+2}  ^{ \frac{n+2}{2} }

Po przekształceniach dochodze to czegoś takiego i nie wiem co dalej:
(n+1) ^{ \frac{n+1}{2} } \cdot  (n+2)^{ \frac{4-n}{2} } \ge 1
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 mar 2015, o 16:56 
Użytkownik

Posty: 11495
Lokalizacja: Wrocław/Boston Maseczjusets
Cytuj:
n^{ \frac{n}{2} } \ge \frac{(n+1)}{n+1} ^{ \frac{n+1}{2} }

Nie bardzo rozumiem, co dalej robisz, więc zatrzymam się przy tym:
dzieląc tę nierówność stronami przez (n+1)^{\frac n 2}, uzyskujemy równoważną postulowanej nierówność \left(\frac{n}{n+1}\right)^{\frac n 2} \ge  \frac{1}{ \sqrt{n+1} }
Zapisując inaczej lewą stronę, otrzymujemy \left(1-  \frac{1}{n+1}\right)^{\frac n 2} \ge  \frac{1}{ \sqrt{n+1} }. Wobec faktu, iż obie strony są nieujemne, możemy podnieść tę nierówność stronami do kwadratu, co prowadzi do nierówności \left(1- \frac{1}{n+1}\right)^{n} \ge \frac{1}{ n+1 },
której prawdziwość dla n \ge 1 wynika bezpośrednio z nierówności Bernoulliego zastosowanej do wyrażenia po lewej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnic indukcyjnie  poti89  1
 Udowodnić indukcyjnie - zadanie 10  grabeQ  2
 Udowodnić indukcyjnie - zadanie 4  STUD2630  8
 Udowodnić indukcyjnie - zadanie 2  JAzz  1
 Udowodnić indukcyjnie - zadanie 12  olga523  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl