szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2015, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 134
Wykaż, że jeśli dla a,b,c\in\RR zachodzi |a-b| \ge |c|, |a-c|\ge|b| i |b-c|\ge|a| to (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 mar 2015, o 00:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3367
Lokalizacja: Krk
Próbuj do kwadratu stronami, na jedną stronę i wzór na różnicę kwadratów.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 kwi 2015, o 00:52 
Użytkownik

Posty: 374
Lokalizacja: Warszawa
to (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=0

To by ozbaczało, że pierwiatkami równania jest któraś z tych liczb: (a+b-c) \wedge (a-b+c) \wedge (-a+b+c)

rozwiazując podane nierówności można dojść do:

cb \ge ab-b^2 oraz a^2-ab \ge ca Jeśli by założyć, że a \neq 0  \wedge  b \neq 0 to mamy c \ge a-b,c \le a-b \Rightarrow c=a-b czyli pokazaliśmy, że itnieje taka para (a,b,c) obłożona tymi warunkami dla których [/tex] to (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=0

To co mnie zastanawia, to bez założenia, że a \neq 0  \wedge  b \neq 0 nie potrafię tego rozwiązać(nie można dzielić przez 0). Czy w treści nie powinno być a,b,c \in\RR \setminus \left\{ 0\right\}?

A nie chwila... jeśli jednak np:a \wedge b=0 to pociąga, że c=0. Czyli chyba jednak a,b,c \in\RR
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 kwi 2015, o 01:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4363
Lokalizacja: Łódź
a=b=c=0 spełniają założenie i tezę.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 kwi 2015, o 01:10 
Użytkownik

Posty: 374
Lokalizacja: Warszawa
No tak to oznacza, że jednak a,b,c \in\RR
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2015, o 06:28 
Użytkownik

Posty: 13310
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cytuj:
To co mnie zastanawia, to bez założenia, że a \neq 0  \wedge  b \neq 0 nie potrafię tego rozwiązać(nie można dzielić przez 0). Czy w treści nie powinno być a,b,c \in\RR \setminus \left\{ 0\right\}?


Jeżeli jedna z liczb (np. c) jest równa 0, to z założeń wynika |a|\geq |b| i |b|\geq |a| czyli a=\pm b. Wtedy jeden z trzech czynników się zeruje (albo a-b+c=0 albo a+b-c=0)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2015, o 22:57 
Moderator

Posty: 1905
Lokalizacja: Trzebiatów
Warunek |a-c|  \ge |b| zapiszemy w postaci równoważnej |c-a|  \ge |b|. Korzystając już ze wskazówki mortan517, mamy , że kolejno :
\left( a-b-c\right)\left( a-b+c\right) \ge 0 \\
\left( -a+b-c\right)\left( a+b-c\right)  \ge 0 \\
\left( -a-b+c\right)\left( -a+b+c\right)   \ge 0
Mnożąc każdą stronę przez - 1 otrzymujemy równoważnie :
\left( -a+b+c\right)\left( a-b+c\right) \le 0 \\
\left( a-b+c\right)\left( a+b-c\right)   \le  0 \\
\left( a+b-c\right)\left( -a+b+c\right)   \le 0
Mnożąc wszystkie równania stronami mamy, że
\left( \left( -a+b+c\right)\left( a-b+c\right)\left( a+b-c\right)   \right)^{2} \le 0, a stąd wniosek z zadania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnić równość - zadanie 37  aniap112  12
 Udowodnić równość - zadanie 19  PAV38  1
 udowodnić równość - zadanie 5  Atraktor  1
 udowodnić równość - zadanie 9  tetra20  1
 udowodnić równość - zadanie 26  theoldwest  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl