szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 kwi 2015, o 23:16 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Szczecin
Rozwiązywałem pewne zadanie, które w uproszczonej wersji wygląda tak:

Ile rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich ma ta nierówność
a + b  \le 2400

Nasunął mi się bardzo prosty pomysł tzn. można zauważyć, że dla a = 1 rozwiązań jest 2399, dla a = 2 rozwiązań jest 2398 ... dla a = 2399 mamy jedno rozwiązanie. Liczba rozwiązań jest równa sumie tych częściowych rozwiązań, więc sumie wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy 1.

Czyli liczba rozwiązań tej nierówności przy takich warunkach wynosi: S_{2399} =  \frac{1+2399}{2}  \cdot 2399 = 2878800

Rozumowanie takie można uogólnić i znaleźć liczbę takich rozwiązań dla dowolnej stałej (w sensie tutaj stała wynosiła 2400) i dla takiej ilości zmiennych po lewej stronie, która jest niewiększa od tej stałej.

Znajomy podsunął mi w tym przypadku inne rozwiązanie, jest to po prostu liczba kombinacji dwuelementowych ze zbioru 2400-elementowego, jednak nie widzę tego. Udało mi się znaleźć nawet swego rodzaju interpretację geometryczną (rozwiązania tej nierówności w węzłach układu współrzędnych tworzą trójkąt), ale i tak jedyne co widzę to swoje rozwiązanie, a brak pomysłu dlaczego akurat kombinacje mogłyby zadziałać. Jakaś wskazówka jak to zobaczyć? Wydaję mi się, że to kwestia odpowiedniej interpretacji tych kombinacji.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2015, o 01:45 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
Twoje rozumowanie jest błędne, a i b to dwie różne liczby i rozwiązania a=1, b=2399 oraz a = 2399, b=1 to dwa różne rozwiązania.
ja bym powiedział, że wynikiem jest {2402 \choose 2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2015, o 02:33 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Szczecin
Cytuj:
Twoje rozumowanie jest błędne, a i b to dwie różne liczby i rozwiązania a=1, b=2399 oraz a = 2399, b=1 to dwa różne rozwiązania.


Przeczytaj uważnie co napisałem. Twierdzisz, że policzyłem (a,b) = (1,2399) oraz (a,b) = (2399,1) co nie jest prawdą, albowiem:

Dla a = 1 mamy 2399 rozwiązań, a jedno z nich to (a,b) = (1,2399), tymczasem dla a = 2399 mamy tylko jedno rozwiązanie tzn. (a,b) = (2399,1). Oba te przypadki są policzone oddzielnie, więc ten przykład wydaję się być nieuzasadniony.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2015, o 13:11 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
Przepraszam, późno było i nie zrozumiałem do końca. Tak więc Twój sposób myślenia jest ok.
Nie spojrzałem też na dodatnie. W takim przypadku wynikiem będzie {2400 \choose 2}
Do każdej zmiennej dajemy po jednej jednostce, zostaje do podziału 2398, do tego dorzucamy dwa separatory żeby rozdzielić tę resztę na 3 grupy: dodane do a, dodane do b i nieużywane. mamy więc 2400 miejsc, z czego wybieramy dowolne 2 na separatory, które wyznaczą ilości poszczególnych grup.

Jest jeszcze inna opcja, która bez mocnego programu do obliczeń nie da konkretnego wyniku i to droga okrężna, ale równie poprawna:
\left( \sum_{i=1}^{2399} z^i \right)^2 rozwinąć w sumę i zsumować współczynniki a_i ze wszystkich składników, gdzie jest a_i z^j : \quad j \in (1; 2400 \rangle
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 turniej szachowy sposobie rozwiazania  matifcb  3
 Ciąg liczbowy, ilość liczb z tego zbioru.  AdiPL  1
 wszystkie dające się przedstawić w pewien sposób  askenazy  0
 Sposób na Lotka.  hot72  7
 Szacowanie rozwiązania rekurencji - zadanie 2  Faelivrin  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl