szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2015, o 23:22 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Rzeszów
Witam, mam problem z rozwiązaniem poniższego równania rekurencyjnego. byłbym wdzięczny za wytłumaczenie po kolei co mam zrobić i ew. rozwiązanie go.

a_{n}-3a _{n-1}-4a_{n-2}+12a_{n-3}=0 \\ 
 a_{0}=3, a_{1}=-7, a_{2}=75
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2015, o 23:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Tutaj jest o tyle łatwo, że nie ma żadnych wyrazów "wolnych". Umiesz wyznaczyć wielomian charakterystyczny tego równania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2015, o 23:30 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Rzeszów
Nie za bardzo, fajnie by było jakbyś dał jakiś zarys
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2015, o 23:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Tak "łopatologicznie" tłumacząc. Musimy stworzyć w tym przypadku wielomian stopnia trzeciego, którego współczynniki będą takie same jak te, które stoją przy kolejnych wyrazach w Twoim równaniu rekurencyjnym. Najniższy stopień wyrazu ( w Twoim przypadku a_{n-3} odpowiada wyrazowi wolnemu w wielomianie. Wyraz a_{n-2} odpowiada za współrzędną "x" etc. Stąd wielomianem charakterystycznym tego równania jest: x^3 - 3x^2 -4x+12 Teraz policz jego miejsca zerowe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2015, o 23:37 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Rzeszów
Ok, miejsca zerowe to 2, -2, 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2015, o 23:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Okej, mamy miejsca zerowe. W takim razie z tego możemy wywnioskować, że nasz wzór jawny tego ciągu jest postaci a_{n} = a \cdot 2^n + b \cdot (-2)^n + c \cdot 3^n Teraz żeby wyliczyć wartości współczynników a, b,  c musisz powstawiać wartości wyrazówa_{0}, a_{1}, a_{2} i rozwiązać ten układ równań. Wszystko jasne? ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2015, o 00:11 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Rzeszów
W miare rozumiem, a jesli bym miał równanie z wyrazami wolnymi, np. a_{n} =8 a_{n-1}-16a_{n-2}-4
a_{0}=2,  a_{1}=12
to czym się różni schemat rozwiązywania takiego zadania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2015, o 10:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Wybacz, że nie odpisałem, ale już poszedłem spać. Tutaj masz dwie opcje do wyboru:

Opcja numer 1:

Skoro a_{n} =8 a_{n-1}-16a_{n-2}-4 to zwiększając indeksy w każdym wyrazie o 1 dostaniemy a_{n+1} = 8a_{n} - 16a_{n-1} - 4. Teraz tylko odejmij te równania od siebie i pozbędziemy się tej -4. A więc teraz standardowo równanie charakterystyczne, jego pierwiastki etc. Pamiętaj tylko, że krotność pierwiastka również ma tutaj bardzo ważne znaczenie. Dodatkowo będziesz musiał sobie z tej zależności wyliczyć wartość wyrazu a_{2} ze względu na to, że zwiększyliśmy ten indeks.

Opcja numer 2:

Rozbijamy sobie to na dwa przypadki - na rozwiązanie ogólne i szczególne. W rozwiązaniu ogólnym tak jakby "pomijamy" tę czwórkę i liczymy wielomian charakterystyczny z a_{n} = 8a_{n-1} - 16a_{n-2}, następnie jego pierwiastki etc.

Teraz rozwiązanie szczególne. Naszym wyrazem wolnym jest -4. Musimy więc przewidzieć jakiej postaci będzie to nasze równanie szczególne. Nietrudno jest sprawdzić, że będzie to jakaś stała k \in \mathbbm{R}. Wystarczy teraz to k wstawić do naszego równania za a_{n}, a_{n-1}, a_{n-2} i wyliczyć ile to k wynosi. W tym przypadku rozważamy już cale równanie, łącznie z tym - 4

A wiec wzór jawny naszego ciągu będzie postaci a_{n} = rozwiązanie ogólne + rozwiązanie szczególne.

-- 5 kwi 2015, o 09:53 --

Z racji tego, że mam trochę czasu to pokażę Ci obie metody.

Sposób pierwszy:

Wyliczamy a_{2} = 60 Teraz zwiększamy indeks każdego wyrazu o jeden, tj.
\begin{cases} a_{n} =8 a_{n-1}-16a_{n-2}-4 \\ a_{n+1} =8 a_{n}-16a_{n-1}-4 \end{cases}
Odejmując stronami dostajemy: a_{n+1} - a_{n} = 8a_{n} - 8a_{n-1} - 16a_{n-1}+16a_{n-2}
A więc mamy teraz do rozpatrzenia równanie: a_{n+1} - 9a_{n} + 24a_{n-1} - 16a_{n-2} = 0
Tworzymy wielomian charakterystyczny\chi(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16 = (x-1)(x-4)^2

I teraz najważniejsze - jeden pierwiastek wyszedł nam dwukrotny. Stąd nasze rozwiązanie będzie postaci a \cdot 1^n + (bn+c) \cdot 4^n Dlaczego? Bowiem 4 jest pierwiastek dwukrotnym, a więc przy niej musi stać wielomian stopnia o jeden mniejszego niż jej krotność. Skoro 4 jest pierwiastek dwukrotnym to w rozwiązaniu stoi przy niej wielomian stopnia pierwszego, czyli funkcja liniowa. Z kolei 1 jest pierwiastkiem jednokrotnym, więc przy niej musi stać wielomian stopnia zerowego, czyli stała.

Współczynniki a,b,c wyliczysz tak jak poprzednio, tzn. podstawiając wartości danych wyrazów i rozwiązując układ równań.

Za chwilę dopiszę drugą metodę.

-- 5 kwi 2015, o 10:11 --

Drugi sposób:

Rozpatrujemy dwa przypadki:

a) Rozwiązanie ogólne ( a_{n}^{o}.

W rozwiązaniu tym zajmujemy się równaniem liniowym jednorodnym (czyli bez wyrazu wolnego ) a_{n} =8 a_{n-1}-16a_{n-2}  \Leftrightarrow  a_{n} - 8a_{n-1} + 16 a_{n-2}=0
Tworzymy wielomian charakterystyczny \chi(x) = x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2
Jest jeden pierwiastek podwójny, a więc a_{n}^{s} = (an +b) \cdot 4^n

b) Rozwiązanie szczególne a_{n}^{s}
W rozwiązaniu tym, zajmujemy się przede wszystkim wyrazem wolnym, który wynosi -4. Możemy napisać, że -4 to jest (-4) \cdot 1^n (na końcu wyjaśnię dlaczego tak ). nasze rozwiązanie szczególne będzie wiec postaci a_{n}^{s} = v(n) \cdot 1^n = v(n), gdzie v(n) jest wielomianem jakiegoś stopnia. Jakiego? Otoż bierzemy pod uwagę dwie rzeczy. Po pierwsze: Jakiego stopnia jest ta -4 która stoi przy 1^n. Jest stopnia zerowego. Po drugie ilukrotnym pierwiastkiem w równaniu charakterystycznym jest -4. No też zerowego. Stąd v(n) jest stopnia 0+0 = 0, czyli stałą k \in \mathbbm{R}.
Wstawiamy teraz to v(n) za każdy z wyrazów i wyliczamy stałą k. Tzn. k=8k-16k-4  \Leftrightarrow 9k = -4  \Leftrightarrow k = -\frac{4}{9}

Stąd a_{n}^{s} = -\frac{4}{9}

Dostajemy więc, że a_{n} = a_{n}^{o} + a_{n}^{s} = (an+b)\cdot 4^n - \frac{4}{9} Współczynniki a, b wyliczymy wstawiając wartości wyrazów a_{0}, a_{1} i rozwiązując układ równań.

Teraz jeszcze kwestia tego dlaczego -4 zapisałem jako -4 \cdot 1^n. Otóż jeżeli wyrazem wolnym są jakieś wielomiany lub funkcje wykładnicze to ten sposób zadziała, ale musimy właśnie zapisać to w taki sposób, tzn. coś razy jakaś funkcja wykładnicza. Jeżeli mamy jakąś stałą, lub wielomian, to po przemnażamy przez 1^n. Z kolei gdy mamy jakąś funkcję wykładniczą jako wyraz wolny, np 5^n to możemy zapisać jako 1 \cdot 5^n i rozumowanie dokładnie tak sam przeprowadzić. Gdyby wyrazem wolnym było coś innego to albo musimy to przekształcić jakimś fajnym podstawieniem, albo korzystać z funkcji tworzących. W każdym razie wiele takich przykładów znajdziesz tutaj na forum gdybyś chciał jeszcze potrenować. Oczywiście mogłem gdzieś popełnić jakieś błędy rachunkowe, za które z góry przepraszam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2015, o 14:13 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Witam. AloneAngel dobrze to wytłumaczyłeś, ale mam jeszcze jedno pytanie. W zeszycie mam taki przykład:
a_{n} = 3a _{n-1} - 4a_{n-3} \\
 a _{0} = 0, a _{1} = 2, a _{2} = -1

Przy początkowych obliczeniach doszedłem do momentu:
(x+1)(x^{2} - 4x + 4) =0
Czyli x=-1, oraz x=2, przy czym jest to pierwiastek dwukrotny.
Napisałem do tego równanie:
a_{n}=c_{1}(-1)^{n} + (c_{2} \cdot n + c_{3}) \cdot 2^{n}

Natomiast w zeszycie, rozwiązanie wykładowcy wyglądało tak:
a_{n}=c_{1}(-1)^{n} + (c_{2} + n \cdot c_{3}) \cdot 2^{n}

To "n" jest w innym miejscu w nawiasie. Rozwiązania tych trzech stałych będą takie same, tylko w innej kolejności co zmieni całe równianie. Wiesz może dlaczego tak jest? To błąd nauczyciela, czy mój? ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2015, o 15:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
To nie jest żaden błąd. To jest dokładnie to samo. Obojętnym jest gdzie postawisz to n - czy przy c_{2} czy przy c_{3}. Rozwiązania będą takie same, tylko w innej kolejności, ale to nie zmieni nam równania. Dlaczego? Bo w Twoim równaniu też masz inną kolejność, niż nauczyciel. Jak chcesz możesz wyliczyć z obu postaci współczynniki c_{1}, c_{2}, c_{3} i zobaczysz, że ostateczne rozwiązanie będzie dokładnie takie samo.

-- 5 kwi 2015, o 14:51 --

Z Twojego równania dostajemy układ równań:

\begin{cases} c_{1} + c_{3} = 0 \\  -c_{1} + (c_{2} + c_{3}) \cdot 2 =2 \\ c_{1} + (2\cdot c_{2} + c_{3})\cdot 4 = -1\end{cases}

Stąd c_{1} = -1, \  c_{2} = -\frac{1}{2}, \ c_{3} = 1

A więc wzór jawny tego ciągu to: a_{n} = -1 \cdot (-1)^{n} + (-\frac{1}{2} \cdot n + 1) \cdot 2^n
A z równania Twojego wykładowcy:

c_{1}+c_{2} =0 \\ -c_{1}+(c_{2}+c_{3}) \cdot 2 = 2 \\ c_{1} + (c_{2} + 2 \cdot c_{3})\cdot 4 =-1

Co nam daje: c_{1} = -1, \  c_{2} =1 , \ c_{3} =  -\frac{1}{2}

A więc wzór jawny to (według oznaczeń Twojego wykładowcy): a_{n} = (-1) \cdot (-1)^{n} + ( 1 + (-\frac{1}{2} \cdot n)\cdot 2^{n}

Czyli dokładnie to samo ;)

Także widzisz, że to przy której zmiennej dasz to n nie ma znaczenia - najważniejsze jest to, że jest to funkcja liniowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2015, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Rzeszów
Wielkie dzięki za wyjaśnienie :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 kwi 2015, o 15:37 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Warszawa
To ja się podepnę pod podziękowania. Bardzo fajnie to wszystko wytłumaczyłeś :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2015, o 22:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6606
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
E tam mnie się bardziej podobają funkcje tworzące
Są bardziej przejrzyste i mają szersze zastosowanie
Tutaj współczynniki są stałe więc wygodna będzie
funkcja tworząca dająca dla ciągu jedynek szereg geometryczny

a_{n}-3a _{n-1}-4a_{n-2}+12a_{n-3}=0
a_{0}=3,  a_{1}=-7,   a_{2}=75

A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \\
 \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n}x^n}= \sum_{n=3}^{ \infty }{3a_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=3}^{ \infty }{4a_{n-2}x^{n}}-\sum_{n=3}^{ \infty }{12a_{n-3}x^{n}} \\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \right)-75x^2+7x-3=3x\left(  \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}} \right)+4x^2\left(  \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}} \right)-12x^3\left(  \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-3}x^{n-3} } \right)   \\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \right)-75x^2+7x-3=3x\left(  \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)+4x^2\left(  \sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)-12x^3\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n} } \right)   \\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \right)-75x^2+7x-3=3x\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} +7x-3\right)+4x^2\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -3\right)-12x^3\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n} } \right)   \\
A\left( x\right)-75x^2+7x-3=3x\left( A\left( x\right)+7x-3 \right)+4x^2\left( A\left( x\right)-3 \right)+12x^3A\left( x\right)\\
A\left( x\right)-75x^2+7x-3=3xA\left( x\right)+21x^2-9x+4x^2A\left( x\right)-12x^2-12x^3A\left( x\right)\\
A\left( x\right)-3xA\left( x\right)-4x^2A\left( x\right)+12x^3A\left( x\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( 1-3x-4x^2+12x^3\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( \left( 1-3x\right)-4x^2\left( 1-3x\right)  \right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( 1-3x\right)\left( 1-4x^2\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)=\frac{84x^2-16x+3}{\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)} \\

\frac{84x^2-16x+3}{\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)}=\frac{A}{1-3x}+\frac{B}{1-2x}+\frac{C}{\left( 1+2x\right) }\\
84x^2-16x+3=A\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)+B\left( 1-3x\right)\left( 1+2x\right)+C\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\\
84x^2-16x+3=A\left( 1-4x^2\right)+B\left( 1-x-6x^2\right)+C\left( 1-5x+6x^2\right)\\
 \begin{cases} A+B+C=3 \\ -B-5C=-16\\-4A-6B+6C=84 \end{cases} \\
\begin{cases} A+B+C=3 \\ \qquad -B-5C=-16\\\qquad B-5C=-48 \end{cases} \\
\begin{cases} A+B+C=3 \\ \qquad B+5C=16\\\qquad \qquad 5C=32 \end{cases} \\
 \begin{cases} A=\frac{63}{5} \\ \qquad B=-16\\\qquad \qquad C=\frac{32}{5} \end{cases} \\
A\left( x\right)=\frac{63}{5} \cdot  \frac{1}{1-3x}-\frac{80}{5} \cdot  \frac{1}{1-2x}+\frac{32}{5} \cdot  \frac{1}{1-\left( -2x\right) } \\
  A\left( x\right)=\frac{63}{5}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{3^nx^n}\right)  -\frac{80}{5}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{2^nx^n}\right)+\frac{32}{5}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -2\right) ^nx^n}\right) \\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left[\frac{63}{5} \cdot 3^n- \frac{80}{5} \cdot 2^{n}+\frac{32}{5} \cdot \left( -2\right)^n   \right]x^{n} }\\
a_{n}=\frac{63}{5} \cdot 3^n- \frac{80}{5} \cdot 2^{n}+\frac{32}{5} \cdot \left( -2\right)^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2015, o 15:57 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Również dzięki ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie rekurencyjne - zadanie 2  matteuszek  4
 Równanie rekurencyjne - zadanie 3  skony  1
 Równanie rekurencyjne - zadanie 4  King James  15
 Równanie rekurencyjne - zadanie 6  pokoj  1
 rownanie rekurencyjne  coldrain  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl