szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2015, o 11:22 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Swiat
Dla jakich wartości parametru k w zbiorze rozwiązań danej nierówności jest zawarty przedział \left\langle -1;1\right\rangle


\frac{x^{2}+k^{2}  }{6+x} \ge 1

Wiem, że należy znaleźć to kółko i w bardzo fajny sposób można przedstawić rozwiązanie graficznie. Jednak kompletnie nie mam pomysłu jak to zrobić :(
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2015, o 12:10 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Zauważ, że licznik jest zawsze dodatni (może być równy 0, ale wtedy równość nie zachodzi), więc aby nierówność w ogóle zachodziła to x>-6, czyli mianownik też jest dodatni, więc równoważnie mamy:
x^2+k^2  \ge 6+x  \Leftrightarrow x^2-x+k^2-6  \ge 0.
Teraz pomyśl jak może wyglądać ta parabola. Jak nie dasz sobie rady to garść podpowiedzi poniżej.
hint1:    

hint2:    

hint3:    

hint4:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2015, o 08:45 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Swiat
Generalnie obliczyłem. Nie rozumiem tylko dlaczego wykres nie może przecinać osi OX
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2015, o 09:52 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Dlatego, że przy rozwiązywaniu nierówności x^2-x+k^2-6 \ge 0 interesuje nas ta część, która znajduje się nad osią OX. Skoro pierwsza współrzędna wierzchołka jest zawsze stała i wynosi \frac{1}{2} to jeśli równanie będzie mieć pierwiastki, to wtedy wierzchołek paraboli będzie leżeć pod wykresem osi OX, a więc dla x=\frac{1}{2} nierówność na pewno nie będzie spełniona.

Zobacz sobie na rysunek:
http://i.imgur.com/EgAUQQK.png
Patrzmy od dołu. Rozpatrzmy najpierw funkcje y=x^2-x (czerwony wykres) oraz y=x^2-x+0.24 (ten czarny pod brązowym), dla których \Delta>0. Widzimy, że wtedy zawsze f(\frac{1}{2})<0 (bo pierwsza współrzędna wierzchołka jest stała i jest nią \frac{1}{2}, więc skoro równanie ma na "prawo" i na "lewo" jakieś tam pierwiastki, to wszystko co jest pomiędzy nimi jest mniejsze od zera. A więc również wartość funkcji w punkcie \frac{1}{2} będzie mniejsza od zera, a co za tym idzie nasza nierówność nie będzie spełniona. A skoro \frac{1}{2} zawsze należy do przedziału \left\langle -1, 1 \right\rangle to wtedy warunki zadania nie są spełnione.

Rozpatrzmy teraz y=x^2-x+\frac{1}{4} (brązowy wykres), dla której \Delta=0. Wtedy, dla x=\frac{1}{2} wartość wynosi zero. W punkcie x=\frac{1}{2} parabola "styka się" z osią OX. Nasza nierówność zakłada też równość, bo jest \ge 0, a nie >0, więc taka parabola spełnia warunki zadania. A więc może być \Delta=0, bo wtedy w punkcie wierzchołkowym wartość wynosi zero, a więc warunki zadania są spełnione.

Jeśli \Delta <0 (bierzemy pod uwagę ten czarny wykres na samej górze, tj. x^2-x+\frac{1}{2}), to nie ma nawet nad czym się zastanawiać, bo cała parabola leży nad wykresem osi OX i nierówność jest zawsze spełniona.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2015, o 10:37 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Swiat
Już rozumiem. Dzięki wielkie :mrgreen:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równania i nierówności niewymierne - informacje  Anonymous  1
 Nierówności wymierne  Tama  2
 nierównosci - zadania  comix  7
 Funkcja wymierna - nierówności.  Gambit  4
 Nierówności wymierne.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl