szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 kwi 2015, o 16:04 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: katowice
zad1
Nie korzystając z metod funkcji tworzących, wyznacz rozwiązania szczególne następujących
równań rekurecnyjnych:
a _{0}= 0, a _{n}= 2 _{a _{n−1} } + 5n

zad2
Ile jest ciągów długości n o wyrazach A, C, G, T, w których A występuje parzystą ilość razy?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2015, o 17:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
W zadaniu drugim dla n=1 może być:

C,G,T trzy możliwości,

dla n=2

AA,CG, GC, CT,TC,GT,TG,CC,GG,TT - 10 możliwości, itd...

dla n=3

A-0 możliwości: 3^3

A-2 możliwości: {3 \choose 2} \cdot 3


dla n=4

A-0 możliwości: 3^4

A-2 możliwości: {4 \choose 2} \cdot 3^2

A-4 możliwości: {4 \choose 4} \cdot 3^0


dla n=5

A-0 możliwości: 3^5

A-2 możliwości: {5 \choose 2} \cdot 3^3

A-4 możliwości: {5 \choose 4} \cdot 3^1


Widać jak to idzie teraz dla dowolnego n


a_{2n}=3^{2n}+ {2n \choose 2}3^{2n-2}+ {2n \choose 4}3^{2n-4}+...+{2n \choose 2n-2}3^{2}+1

a_{2n+1}=3^{2n+1}+ {2n+1 \choose 2}3^{2n-1}+ {2n+1 \choose 4}3^{2n-3}+...+{2n+1 \choose 2n-2}3^{1}

Końcówka inna dla parzystych inne dla nieparzystych...

Pierwsze zadanie nieczytelne!
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 kwi 2015, o 20:57 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: katowice
Edytowałam pierwsze. Powinno już być czytelne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2015, o 22:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12431
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Nie jest czytelnie, ale można się domyślić, o co chodziło.
Niech n będzie jakieś tam sobie odpowiednio duże dodatnie. Wtedy a_{n}=2a_{n-1}+5n=2(2a_{n-2}+5(n-1))+5n=...\mbox{zgadywanie}= \sum_{k=1}^{n} 2 ^{n-k} 5k
To najpierw wykażemy indukcyjnie, że dobrze zgadłem. Dla n=1 mamy a_{1}=5= \sum_{k=1}^{1}2^{1-k}5k (hiehie), czyli się zgadza. Teraz załóżmy, że formuła jest prawdziwa dla dowolnie ustalonego n \in \NN^{+} i pokażemy, że działa też dla n+1:
a_{n+1}=2a_{n}+5(n+1)=\mbox{[zał.ind.]}=5n+5+2 \sum_{k=1}^{n}2^{n-k}5k= \sum_{k=1}^{n+1}2^{n+1-k}5k
Teraz jeszcze można by podać zwartą postać \sum_{k=1}^{n}2^{n-k}5k, ale mi się nie chce klepać. Wskazówka: \sum_{k=1}^{n}2^{n-k}5k =5\cdot 2^{n} \sum_{k=1}^{n}k \left( \frac{1}{2} \right)^{k}. No i jakieś tam rózniczkowanko sumy n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (łatwiej to zrobić ze zwartej postaci) - rozważaną funkcją będzie ta suma dla argumentu \frac{1}{2}.
BTW Czy w drugim mamy adeninę, cytozynę, guaninę i tyminę? :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2015, o 02:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
Dobry jesteś Premislav z chemii czego o sobie nie mogę powiedzieć.
Oświeć mnie co za magiczne znaczenia mają te słowa. A może w tym zadaniu chodzi o jakieś DNA.
a nawet o tym nie wiedziałem!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rownania rekurencyjne  doniczek  8
 Równania rekurencyjne  kamil.jack  0
 równania rekurencyjne - zadanie 2  Ja_89  4
 równania rekurencyjne - zadanie 3  Suzi86  3
 równania rekurencyjne - zadanie 4  rotka  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl