szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2015, o 19:19 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Matykaland
Dany jest srójkąt ABC w którym |BC| = a |AC| = b oraz |\angle ACB| = 120^\circ. Punkt D jest środkiem boku AB tego trójkąta. Udowodnij, że |CD| =  \frac{1}{2} \cdot  \sqrt{ a^{2} - ab + b ^{2}  }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2015, o 19:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
Mój pomysł jest taki, może działa: wyznaczasz długość |AB| z tw. cosinusów. Potem obliczasz pole tego trójkąta ze wzoru \frac 12 ab \sin \gamma. Następnie tworzysz z tego trójkąta romb przez odbicie tego trójkąta wzdłuż odcinka |AB|. Wzór na pole rombu znamy. Może da to w wyniku długość |CD|.

EDIT: Tak, da się tym dojść do długości |CD|. Nie wyszło mi tak jak autor zadania chciał, ale może się gdzieś pomyliłem. Wyszło mi \sqrt{\frac{3a^2b^2}{4a^2+4b^2+4ab}}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2015, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Ropczyce
Oznacz odcinki na które dzieli środkowa bok AB jako y i x. (W dowolnej kolejności).
Następnie korzystamy ze wzoru na środkową w trójkącie w tym przypadku opadającą na bok o dlugości AB. |AB|=x+y
|CD|= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2a^{2}+2b^{2}- \left( x+y \right) ^{2}}
Podnosząc do kwadratu, i mnożąc czterokrotnie.
4|CD|^{2}=2a^{2}+2b^{2}- \left( x+y \right) ^{2}
Dodatkowo korzystamy z twierdzenia cosinusów, wyznaczając bok AB.
a^{2}+b^{2}-2ab\cos 120= \left( x+y \right) ^{2} \\ a^{2}+b^{2}+ab= \left( x+y \right) ^{2}
Podstawiając wyznaczoną wartość do wcześniejszego "wzoru" na środkową otrzymujemy
4|CD|^{2}=2a^{2}+2b^{2}-a^{2}-b^{2}-ab
Redukujemy wyrazy podobne, dzielimy stronami przez cztery oraz pierwiastkujemy stronami i otrzymujemy tezę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2015, o 22:30 
Gość Specjalny

Posty: 3011
Lokalizacja: Gołąb
Powyższe rozwiązanie jest trochę słabe bo do udowodnienia wzoru na długość środkowej używa tego wzoru. Całe zadanie sprowadza się więc do obliczenia długości środkowej w trójkącie. Wyprowadzę ten wzór. Przyjmijmy oznaczenia jak w zadaniu oraz dodatkowo niech AD=x, \ BD=y, \AB=c=x+y, \ CD=d. Pokażę, że wówczas zachodzi ogólniejsze twierdzenie (Stewarta), które mówi, że
d^{2}c=a^{2}x+b^{2}y-cxy
Dowód:    

Stąd w naszej sytuacji uwzględniając x=y dostajemy wzór który został podany przez SPF1997.

Można też podobnie, ale ciut inaczej.
Oznaczmy \angle ADC=\beta. Wówczas \angle CDB=180^{\circ}-\beta. I podobnie jak powyżej korzystamy z dwukrotnie z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ACD oraz BCD i postępujemy tak samo jak wcześniej (wyliczamy z tych równości \cos \beta a później d.


Do dokończenia rozwiązania zadania wystarczy zatem obliczyć z twierdzenia cosinusów trzeci bok trójkąta i podstawić do wzoru.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Długość środkowej w trójkącie  dawkat  3
 wykaż zależność w dowolnym trójkącie  kornelka90  1
 Maksymalna średnica sadzawki w trójkącie prostokątnym  prs613  1
 katy w trojkacie - zadanie 6  kkuubbaa88  5
 Wysokość w trójkącie prostokątnym - zadanie 2  glowawojtas  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl