szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2015, o 13:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 234
Lokalizacja: Kraków
Witam. Chciałbym rozwiązać z Wami jeszcze jeden przykład. W tym wypadku, jedyne, co mi się udało, to dojść do trzeciego punktu, przy czym nie jestem pewny zapisu tezy indukcyjnej. Przejdźmy po kolei.

1.

\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} = 1-  \frac{1}{2} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}

niech n=1

L= \frac{1}{1+1}= \frac{1}{2}
P= 1 -  \frac{1}{2 \cdot 1} =  \frac{1}{2}
L=P

2.

niech n=k oraz k \ge 1

\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k} = 1-  \frac{1}{2} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}

3.

niech n = k+1

\frac{1}{k+1+1}+\frac{1}{k+1+2}+...+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2} = 1-  \frac{1}{2} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2(k+1)-1}-\frac{1}{2(k+1)}

\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2} = 1-  \frac{1}{2} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}

I co w tym momencie robić? Przemnożenie przez (k+1) obu stron i podstawienie prawej strony założenie raczej nie wchodzi w grę, jako, że po prawej stronie mamy dodawanie (które następnie przemnożylibyśmy przez k+1). Prosiłbym o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2015, o 14:01 
Moderator

Posty: 1976
Lokalizacja: Trzebiatów
Dodaj stronami \frac{1}{k+1} i zauważ, że możesz skorzystać z 2. Po lewej stronie będziesz mieć 2. plus coś, tak samo po prawej stronie, 2. plus coś. 2. Ci się zredukuje i będziesz musiał udowodnić, że to plus coś z lewej strony jest równe temu plus coś z prawej strony.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2015, o 14:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 234
Lokalizacja: Kraków
Fakt, nie pomyślałem zupełnie o tym, że można przecież obustronnie dodać. Zrobię to w zeszycie i zaraz tutaj przepiszę.

-- 12 kwi 2015, o 13:29 --

Wyszło takie coś:

Cd. 3.

\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2} = 1-  \frac{1}{2} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}

\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2} = 1-  \frac{1}{2} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}+\frac{1}{k+1}

1-  \frac{1}{2} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2} = 1-  \frac{1}{2} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}+\frac{1}{k+1}

\frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} =  \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2} + \frac{1}{k+1}

\frac{1}{2k+2} = - \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{k+1}

\frac{1}{2k+2} = - \frac{1}{2k+1} + \frac{2}{2k+2}

\frac{1}{2k+2} = \frac{1}{2k+2}

L=P

Co należało dowieść na zasadzie indukcji matematycznej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2015, o 16:49 
Administrator

Posty: 22719
Lokalizacja: Wrocław
Pod koniec przekształceń pomyliłeś się przy przepisywaniu (trzecia linijka od dołu).

Lepiej wygląda, jak przechodzisz od lewej do prawej, ale przekształcenia równoważne też ujdą (choć dla mnie w takiej sytuacji wymagany jest komentarz, że przekształcamy równoważnie).

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja k-1  matip  3
 Indukcja dowód - zadanie 5  viptaemd  2
 indukcja matematyczna - zadanie 16  monolith  2
 wzór newtona, liczba przekątnych, indukcja  aqlec  1
 Indukcja i sprawdzanie podzielności  whisper  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl