szukanie zaawansowane
 [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2015, o 19:21 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: Gdańsk
Witam. Mam problem z wspomnianym wyżej zadaniem - zagadnienie jest związane z pojęciem równości funkcji wymiernych i należy je rozwiązać bez liczenia granic, pochodnych ani wykonywania badania przebiegu zmienności - głównie dlatego, że w drugiej klasie liceum jeszcze tego nie ma. Chodzi o określenie zbioru wartości funkcji \frac{2x}{ x^{2}+1} - wiem jak to zrobić badaniem przebiegu zmienności funkcji, więc proszę nie pisać - użyj granic i pochodnych. Myślę, że chodzi tu o zauważenie czegoś co by pozwoliło pozbyć się x z licznika.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 kwi 2015, o 19:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Możesz zgadnąć rozwiązanie: f(1) = 1 oraz:

\frac{2x}{x^2+1} \le 1 \iff (x^2-2x  + 1) \ge 0 \iff (x- 1)^2 \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2015, o 22:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 175
Lokalizacja: Wrocław
Troszkę nad tym pomyślałem i udało mi się ten przykład zrobić bez wykorzystywania pochodnych i granic.
W \left( x \right) = \frac{2x}{x^{2}+1}= \frac{2}{x+ \frac{1}{x} } dla x \neq 0  \wedge 0 dla x=0
dla x>0
x+\frac{1}{x} \ge 2 nierówność oczywista (wyprowadzamy z wzorów skróconego mnożenia)
\frac{1}{x+ \frac{1}{x} }  \le  \frac{1}{2} / \cdot 2
0< \frac{2}{x+ \frac{1}{x} }  \le 1
dla x<0
x+ \frac{1}{x}  \le -2 znów nierówność oczywista
\frac{1}{x+ \frac{1}{x} }  \ge  \frac{-1}{2}/ \cdot 2
0>  \frac{2}{x+ \frac{1}{x} }  \ge -1
Zw=\left\langle -1,1 \right\rangle oczywiście suma z x=0
Myślę, że jest to całkiem przejrzysty sposób rozwiązania zadania bez użycia bardziej zaawansowanych narzędzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2015, o 23:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3401
Lokalizacja: Krk
Najłatwiej przekształcając (\left| x\right| - 1)^2 \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2015, o 11:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 159
Lokalizacja: Coot's Chapel
Hendra napisał(a):
Troszkę nad tym pomyślałem i udało mi się ten przykład zrobić bez wykorzystywania pochodnych i granic.
W \left( x \right) = \frac{2x}{x^{2}+1}= \frac{2}{x+ \frac{1}{x} } dla x \neq 0  \wedge 0 dla x=0
dla x>0
x+\frac{1}{x} \ge 2 nierówność oczywista (wyprowadzamy z wzorów skróconego mnożenia)
\frac{1}{x+ \frac{1}{x} }  \le  \frac{1}{2} / \cdot 2
0< \frac{2}{x+ \frac{1}{x} }  \le 1
dla x<0
x+ \frac{1}{x}  \le -2 znów nierówność oczywista
\frac{1}{x+ \frac{1}{x} }  \ge  \frac{-1}{2}/ \cdot 2
0>  \frac{2}{x+ \frac{1}{x} }  \ge -1
Zw=\left\langle -1,1 \right\rangle oczywiście suma z x=0
Myślę, że jest to całkiem przejrzysty sposób rozwiązania zadania bez użycia bardziej zaawansowanych narzędzi.


Z Twojego rozumowania nie wynika, że Zw=\left\langle -1,1 \right\rangle, lecz Zw \subset \left\langle -1,1 \right\rangle, a to za mało.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2015, o 12:37 
Użytkownik

Posty: 2308
Lokalizacja: Warszawa
Zwróć uwagę na to, że funkcja jest nieparzysta, a więc wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Wystarczy więc, że zbadasz funkcję w połowie dziedziny, tj. dla iksów nieujemnych.
Odpowiedz teraz na pytanie, kiedy licznik jest większy od mianownika, albo odwrotnie. A to jest proste, bo wystarczy narysować na jednym wykresie funkcję y=2x i funkcję y=x^2+1.
Zobaczysz wtedy, że licznik jest zawsze \le od mianownika. A równość zachodzi wtedy, gdy

2x=x^2+1  \Leftrightarrow \left( x-1\right)^2=0  \Rightarrow x=1

Stąd wniosek, że funkcja osiąga największą wartość w x=1

f\left( 1\right) =  \frac{2}{2}=1

Zobacz też, że dla x \ge 0 \quad \text{mamy} \quad 0\le f\left( x\right) \le 1

w takim razie, ponieważ funkcja jest nieparzysta, dla iksów niedodatnich będziemy mieć -1 \le f\left( x\right) \le 0

Ostatecznie więc zbiór wartości tej funkcji to przedział \left\langle -1, \ 1\right\rangle

:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2015, o 17:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 175
Lokalizacja: Wrocław
Seth Briars napisał(a):
Z Twojego rozumowania nie wynika, że Zw=\left\langle -1,1 \right\rangle, lecz Zw \subset \left\langle -1,1 \right\rangle, a to za mało.

Nie do końca rozumiem dlaczego :)
Mógłbyś wyjaśnić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2015, o 18:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 159
Lokalizacja: Coot's Chapel
Hendra napisał(a):
Mógłbyś wyjaśnić?


Pokazałeś, że wszystkie wartości W(x) spełniają nierówność -1 \le W(x) \le 1 (a więc, że Zw \subset \left\langle -1,1\right\rangle) skąd nie wynika, że wszystkie wartości z tego przedziału są przyjmowane przez funkcję. Jeszcze należałoby dowieść, że \left\langle -1,1\right\rangle  \subset Zw tj. że dowolna liczba ze zbioru \left\langle -1,1\right\rangle jest wartością funkcji W w celu pokazania równości Zw=\left\langle -1,1\right\rangle. Wynika to stąd, że (A \subset B \wedge B \subset A) \Leftrightarrow A=B jak i z określenia zbioru wartości funkcji.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2015, o 19:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Wypadałoby więc skorzystać z tego, że f(\pm 1) = \pm 1 i powołać się na własność Darboux. Ale tego nie ma w liceum raczej. Raczej :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2015, o 20:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 159
Lokalizacja: Coot's Chapel
Wystarczy dla y \in \left\langle -1,1\right\rangle  \setminus \left\{ 0\right\} przyjąć x=\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}, a dla y=0 przyjąć x=0, w każdym razie W(x)=y.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2015, o 20:57 
Użytkownik

Posty: 1004
Lokalizacja: Polska
Medea 2 napisał(a):
Wypadałoby więc skorzystać z tego, że f(\pm 1) = \pm 1 i powołać się na własność Darboux. Ale tego nie ma w liceum raczej. Raczej :D

A to cię zaskoczę, bo własność Darboux jest w liceum ^^.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2015, o 22:25 
Administrator

Posty: 23374
Lokalizacja: Wrocław
To chyba zależy w jakim liceum...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 08:11 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: Gdańsk
Hmm twierdzenie Darboux jest dopiero w 3 klasie - a zadanie znajduje się w zbiorze w dziale związanym z równością funkcji wymiernych - więc chyba o inny sposób chodzi. Myślę, że należy rozbić funkcję na dwa ułamki, ale nie mam pomysłu na jakie. Próbowałem zapisać to jako \frac{2x}{ x^{2}+1}=  \frac{ (x^{2}+2x+1)-( x^{2}+1)}{ x^{2}+1 }=  \frac{ (x+1)^{2} }{ x^{2}+1 }- \frac{ x^{2}+1 }{ x^{2}+1 }= \frac{ (x+1)^{2} }{ x^{2}+1 }-1 - do takiego zapisu doszedłem i nie mam pomysłu co dalej, ale czuję że to jest to o co chodziło autorowi zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 09:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 159
Lokalizacja: Coot's Chapel
Przecież to zadanie zostało już rozwiązane (a przynajmniej został podany mocno zarysowany szkic rozwiązania) bez powoływania się na własność Darboux - Hendra uzasadnił Ci, że każda wartość postaci \frac{2x}{x^2+1} spełnia podwójną nierówność -1 \le \frac{2x}{x^2+1} \le 1, a ja uzasadniłem, że każda liczba z przedziału \left\langle -1,1\right\rangle jest przyjmowana przez funkcję. Stąd wynika, że zbiorem wartości jest \left\langle -1,1\right\rangle.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 10:17 
Użytkownik

Posty: 2308
Lokalizacja: Warszawa
Cytuj:
Przecież to zadanie zostało już rozwiązane (a przynajmniej został podany mocno zarysowany szkic rozwiązania) bez powoływania się na własność Darboux


Moje rozwiązanie również nie powołuje się na własność Darboux, ale chyba nikt go do tej pory nie przeczytał. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbiór wartości funkcji wymiernej  Black Druidess  7
 Zbiór wartości funkcji wymiernej - zadanie 2  Kazorx  2
 zbiór wartości funkcji wymiernej - zadanie 3  matteooshec  1
 Zbiór wartości funkcji wymiernej - zadanie 4  stickup  2
 Zbiór wartości funkcji wymiernej - zadanie 5  Hendra  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl