szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 19:52 
Użytkownik

Posty: 217
Lokalizacja: Radom
Witam, mam chyba klasyczne zadanie, którego nie mogę niestety znaleźć w internecie.

Mając dane długości środkowych p, q, r należy obliczyć pole trójkąta.

Udowodniłem że pola małych sześciu trójkątów na jakie dzielą trójkąt środkowe są równe, natomiast nie wiem co dalej - w jaki sposób obliczyć pole takiego małego trójkąta, w którym mam tylko 2 boki (części środkowych). Pole danego trójkąta to będzie wtedy 6 razy pole takiej małej części.

Pozdrawiam i proszę o wskazówki
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 20:06 
Użytkownik

Posty: 1900
Lokalizacja: Warszawa
Środkowa p opuszczona na bok c

p= \frac{1}{2 } \sqrt{2a^2+2b^2-c^2}
Możesz ułożyć układ 3 równań z 3 niewiadomymi bokami i obliczyć boki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 20:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Oblicz ze wzoru Herona pole trojkata utworzonego ze środkowych a potem wykorzystaj to, że jego pole jest równe \frac{3}{4} pola wyjściowego trójkąta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 23:49 
Użytkownik

Posty: 217
Lokalizacja: Radom
A skąd to 3/4?
Zależy mi na bardziej eleganckim rozwiązaniu niż palowanie wszystkich boków z tw cosinusow
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2015, o 20:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
No to mój sposób jest ładny wg mnie. To \frac{3}{4} bierze się stąd, że możesz zbudować trójkat o bokach długości \frac{3}{2} boków wyjściowego. Łącząc odcinkami punkty dzielące boki tego trójkąta w stosunku 1:2 otrzymasz właśnie trójkat zbudowany ze środkowych. Wystarczy teraz od pola tego dużego trójkąta odjąć pola trójkątów wierzcholkowych i otrzymasz pole trójkąta zbudowanego ze środkowych. A więc korzystając z podobienstwa i wzoru na pole trójkąta P=\frac{a\cdot h}{2}, jeśli przez S oznaczymy pole trójkąta wyjściowego, to pole trójkąta zbudowanego ze środkowych wynosi:
\left(\frac{3}{2}\right)^2 S-3\cdot \frac{S}{2}=\frac{3}{4}S.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2015, o 22:35 
Użytkownik

Posty: 217
Lokalizacja: Radom
Jasne, twój jest ładny, tamto zdanie odnosiłem do postu Ani221.
Natomiast niestety nie do końca rozumiem ten pomysł - na rysunku jest trojkąt podobny w skali \frac{3}{2} to trójkąta wyjściowego, a zaznaczone punkty dzielą go na trzy równe części. Które punkty należy połączyć żeby uzyskać trójkąt złożony ze środkowych wyjściowego trójkąta?

Obrazek
(po kliknięciu większy rozmiar)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2015, o 22:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
D, F, I
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2015, o 23:02 
Użytkownik

Posty: 217
Lokalizacja: Radom
Michalinho napisał(a):
D, F, I


Hm, no dobra i teraz DF jest środkową trójkąta DGB który jest przystający do wyjściowego, DI jest środkową AEI, który też jest przystający do wyjściowego, natomiast trzeci odcinek - FI jest środkową trójkąta BIG który wcale do wyjściowego przystający nie jest?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2015, o 06:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
FI jest środkową FCH, który jest przystający do wyjściowego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 środkowe w trojkącie  sportowiec1993  1
 Środkowe w trójkącie - zadanie 9  kornik1  6
 Środkowe w trójkącie  malachit  2
 Środkowe w trójkącie - zadanie 10  Guren  5
 Środkowe w trójkącie - zadanie 12  majkyl76  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl