Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Indukcja matematyczna

Indukcja - przykład z podzielnością

Strona 1 z 1

[ Posty: 5 ]

Autor

Wiadomość

Ceplusplusik Offline

Tytuł: Indukcja - przykład z podzielnością

Napisane: 14 kwi 2015, o 23:46

Posty: 234
Lokalizacja: Kraków

Witam. Mamy udowodnić, że liczba liczba $2^{n+2} \cdot 3^{n} +5n -4$ jest podzielna przez $25$ , metodą indukcji matematycznej dla $n \ge 1$ .

1.

niech $n=1$ ,

stąd: $2 ^{1+2} \cdot 3^{1}+5-4 = 29-4 = 25$ .

$25$ dzieli $25$ . Więc pierwszy krok ma wartość logiczną $1$ .

2.

niech $n=k$ oraz $k \ge 1$

założenie kroku indukcyjnego: $25 \mid 2^{k+2} \cdot 3^{k} +5k -4$

3.

niech $n=k+1$

teza kroku indukcyjnego: $25 \mid 2^{k+3} \cdot 3^{k+1} +5(k+1) -4$

$2^{k+3} \cdot 3^{k+1} +5(k+1) -4= 2^{1} \cdot 2^{k+2} \cdot 3^{1} \cdot 3^{k} +5k+ 5 -4 = 2^{1} \cdot 2^{k+2} \cdot 3^{1} \cdot 3^{k} +5k+ 1 = 2 \cdot 2^{k+2} \cdot 3 \cdot 3^{k} +5k -4 + 5 = 6 \cdot \red 2^{k+2} \cdot 3^{k} +5k -4 \black + 5$

Wiadomo, że wartość podkreślona na czerwono będzie podzielna przez $25$ , jednak pomnożona przez $6$ i zsumowana z $5$ już taka nie będzie. Gdzie popełniam błąd? Z indukcji wyszło mi prędzej, że wstępne założenie jest nieprawdziwe.

Góra

Jan Kraszewski Offline

Tytuł: Indukcja - przykład z podzielnością

Napisane: 14 kwi 2015, o 23:56

Posty: 22904
Lokalizacja: Wrocław

Błąd polega na tym, że wartości na czerwono wcale nie mnożysz przez $6$ - przecież tam nie ma nawiasów. Musisz jeszcze trochę przekształcić, by móc skorzystać z założenia indukcyjnego.

JK

Góra

szachimat Offline

Tytuł: Indukcja - przykład z podzielnością

Napisane: 15 kwi 2015, o 00:03

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie

Błąd jest taki, że czerwone wyrażenie nie jest w nawiasie, a traktujesz jakby było.
W punkcie drugim przyjmij, jako założenie: $2^{k+2} \cdot 3^{k} +5k -4=25t;\ t \in C$
Wtedy: $2^{k+2} \cdot 3^{k}=25t-5k+4$
I tą właśnie kombinację wstaw w punkcie 3 i wtedy ładnie da się wyciągnąć 25 przed nawias.
Edit
Trochę się powtórzyło z poprzednim postem.

Góra

Ceplusplusik Offline

Tytuł: Indukcja - przykład z podzielnością

Napisane: 15 kwi 2015, o 00:22

Posty: 234
Lokalizacja: Kraków

Faktycznie, racja w obu wypadkach, dzięki za pomoc

. Doprowadziłem do takiego wyniku:

$125t-25k+25$ jest podzielne przez 25, przy czym $t,k \in N$ .

No i właśnie: nie byłoby precyzyjniej, jeśliby wstawić $t$ do zbioru liczb naturalnych, jak wyżej, a nie całkowitych?

Góra

Jan Kraszewski Offline

Tytuł: Indukcja - przykład z podzielnością

Napisane: 15 kwi 2015, o 00:26

Posty: 22904
Lokalizacja: Wrocław

Ceplusplusik napisał(a):

No i właśnie: nie byłoby precyzyjniej, jeśliby wstawić $t$ do zbioru liczb naturalnych, jak wyżej, a nie całkowitych?

Bez różnicy.

JK

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 5 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Indukcja matematyczna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Indukcja - zadanie 16	KubaG1987	1
Indukcja matematyczna - zadanie 10	pawel435	7
indukcja z silnią - zadanie 4	me123	2
Indukcja matematyczna - dowodzenie podzielności.	waski	8
Indukcja matematyczna, udowodnij równość	Łukasz_1989	5

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]