szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 22:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 234
Lokalizacja: Kraków
Witam. Mamy udowodnić, że liczba liczba 2^{n+2}   \cdot  3^{n}  +5n -4 jest podzielna przez 25, metodą indukcji matematycznej dla n \ge 1.

1.

niech n=1,

stąd: 2 ^{1+2} \cdot  3^{1}+5-4 = 29-4 = 25.

25 dzieli 25. Więc pierwszy krok ma wartość logiczną 1.


2.

niech n=k oraz k \ge 1

założenie kroku indukcyjnego: 25 \mid 2^{k+2}   \cdot  3^{k}  +5k -4

3.

niech n=k+1

teza kroku indukcyjnego: 25 \mid 2^{k+3}   \cdot  3^{k+1}  +5(k+1) -4

2^{k+3}   \cdot  3^{k+1}  +5(k+1) -4= 2^{1} \cdot 2^{k+2}   \cdot  3^{1} \cdot 3^{k}  +5k+ 5 -4 = 2^{1} \cdot 2^{k+2}   \cdot  3^{1} \cdot 3^{k}  +5k+ 1 = 2 \cdot 2^{k+2}   \cdot 3 \cdot 3^{k}  +5k -4 + 5 = 6 \cdot \red 2^{k+2} \cdot 3^{k}  +5k -4 \black + 5

Wiadomo, że wartość podkreślona na czerwono będzie podzielna przez 25, jednak pomnożona przez 6 i zsumowana z 5 już taka nie będzie. Gdzie popełniam błąd? Z indukcji wyszło mi prędzej, że wstępne założenie jest nieprawdziwe.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 22:56 
Administrator

Posty: 21711
Lokalizacja: Wrocław
Błąd polega na tym, że wartości na czerwono wcale nie mnożysz przez 6 - przecież tam nie ma nawiasów. Musisz jeszcze trochę przekształcić, by móc skorzystać z założenia indukcyjnego.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 23:03 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
Błąd jest taki, że czerwone wyrażenie nie jest w nawiasie, a traktujesz jakby było.
W punkcie drugim przyjmij, jako założenie: 2^{k+2} \cdot 3^{k} +5k -4=25t;\ t \in C
Wtedy: 2^{k+2} \cdot 3^{k}=25t-5k+4
I tą właśnie kombinację wstaw w punkcie 3 i wtedy ładnie da się wyciągnąć 25 przed nawias.
Edit
Trochę się powtórzyło z poprzednim postem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 23:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 234
Lokalizacja: Kraków
Faktycznie, racja w obu wypadkach, dzięki za pomoc :). Doprowadziłem do takiego wyniku:

125t-25k+25 jest podzielne przez 25, przy czym t,k \in N.

No i właśnie: nie byłoby precyzyjniej, jeśliby wstawić t do zbioru liczb naturalnych, jak wyżej, a nie całkowitych?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2015, o 23:26 
Administrator

Posty: 21711
Lokalizacja: Wrocław
Ceplusplusik napisał(a):
No i właśnie: nie byłoby precyzyjniej, jeśliby wstawić t do zbioru liczb naturalnych, jak wyżej, a nie całkowitych?

Bez różnicy.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja matematyczna - podzielność  pseudobombka  1
 ciag rekurencyjny i indukcja  coldfusion  5
 Wykazać podzielność liczby przez 11 - indukcja matematyczna  spacerunner  2
 Dwa zadania: indukcja matematyczna i podzielność liczb.  gentle_man  3
 Indukcja matematyczna. Nierówności.  Glo  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl