szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2015, o 00:24 
Użytkownik

Posty: 134
W trójkącie prostokątnym ABC dwusieczna kąta przy wierzchołku A przecina przeciwprostokątną BC w punkcie D. Wykaż, że \frac{2}{AD ^{2} } = \frac{1}{BD^2} +  \frac{1}{CD ^{2} }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2015, o 23:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5535
Zapomniałeś dopisać że kąt A jest prosty.

Niech \alpha to kąt B .
Z twierdzenia sinusów mam z trójkąta ABD
\sin  \alpha = \frac{\sin  \frac{ \pi }{4} \left| AD\right| }{\left| BD\right| }
a z trójkąta ACD
\sin ( \frac{ \pi }{2}- \alpha) =\cos  \alpha = \frac{\sin  \frac{ \pi }{4} \left| AD\right| }{\left| CD\right| }
wstawiając to do \sin^2  \alpha  +\cos ^2 \alpha =1 dostaję:
\left( \frac{ \sqrt{2} \left| AD\right| }{2\left| BD\right| }\right) ^2+\left( \frac{ \sqrt{2} \left| AD\right| }{2\left| BC\right| }\right) ^2=1
\left( \frac{  1 }{\left| BD\right| }\right) ^2+\left( \frac{1 }{\left| BC\right| }\right) ^2=\left(  \frac{2}{ \sqrt{2} \left| AD\right|} \right)^2
\frac{  1 }{\left| BD\right|^2 }+\frac{  1 }{\left| CD\right|^2 }=\frac{  2 }{\left| AD\right|^2 }

Edit:
Mea culpa, przegapiłem ,,przeciwprostokątną BC ''.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2015, o 23:44 
Użytkownik

Posty: 3666
Lokalizacja: Kraków PL
kerajs napisał(a):
Zapomniałeś dopisać że kąt A jest prosty.
Nie zapomniał.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2015, o 12:08 
Użytkownik

Posty: 134
Dzięki. A jakby to zrobić bez użycia trygonometrii? Wskazówka była taka, aby rozważyć kwadrat o przekątnej AD.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2015, o 13:32 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
No oznaczmy przez E i F rzuty prostokątne punktu D odpowiednio na boki AC i AB trójkąta ABC. Wtedy mamy kwadrat AEDF o przekątnej AD.

Jasnym faktem jest, że każda para z trójki \triangle CDE, \triangle BDF, \triangle ABC jest do siebie podobna (dowód pozostawiam Tobie), więc z podobieństwa mamy:
\frac{|CD|}{|BC|}=\frac{|DE|}{|AB|}  \Leftrightarrow |CD|=\frac{|DE| \cdot |BC|}{|AB|}.
\frac{|BD|}{|BC|}=\frac{|DF|}{|AC|}  \Leftrightarrow |BD|=\frac{|DF| \cdot |BC|}{|AC|}.

A stąd już wynika teza zadania:
\frac{1}{|CD|^2}+\frac{1}{|BD|^2}= \frac{|AB|^2}{|DE|^2 \cdot |BC|^2}+\frac{|AC|^2}{|DF|^2 \cdot |BC|^2}.
A skoro |DF|=|DE| (bo mamy kwadrat), to dalej mamy:
\frac{|AB|^2+|AC|^2}{|DE|^2 \cdot |BC|^2}=\frac{|BC|^2}{|DE|^2 \cdot |BC|^2}=\frac{1}{|DE|^2}
Oczywiście |DE| \sqrt{2}=|AD|  \Leftrightarrow 2 |DE|^2 = |AD|^2  \Leftrightarrow |DE|^2=\frac{|AD|^2}{2}. Zatem ostatecznie mamy \frac{1}{|DE|^2}=\frac{2}{|AD|^2}. Czyli teza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2015, o 20:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5535
Skoro niedługo matura to pozwolę sobie dopisać:

Często, gdy zadanie z geometrii (w tym i dowód) sprawia problem, to warto spróbować przejść na geometrię analityczną.

Wpisuję trójkąt prostokątny w układ współrzędnych tak:
A=\left( 0,0\right) \ , \   B=\left( 0,b\right) \ , \   C=\left( c,0\right) \ , \   b,c>0
Prosta zawierająca punkty B i C ma równanie y= \frac{-b}{c}x+b, a dwusieczna kąta A to y=x. Ich przecięcie daje punkt D=\left(  \frac{bc}{b+c} ,\frac{bc}{b+c}  \right).


L= \frac{1}{\left| BD\right|^2 }+  \frac{1}{\left| CD\right|^2 }= \frac{1}{\left(  \sqrt{(\frac{bc}{b+c}-0)^2+(\frac{bc}{b+c}-b)^2}\right)^2  }  +\frac{1}{\left(  \sqrt{(\frac{bc}{b+c}-c)^2+(\frac{bc}{b+c}-0)^2}\right)^2  } =\\= \frac{(b+c)^2}{b^2(b^2+c^2)}+\frac{(b+c)^2}{c^2(b^2+c^2)}=\frac{(b+c)^2(b^2+c^2)}{b^2c^2(b^2+c^2)}=  \frac{(b+c)^2}{b^2c^2} \\

P= \frac{2}{\left| AD\right|^2 }=\frac{2}{ \sqrt{ \left( \frac{bc}{b+c}-0\right)^2+\left( \frac{bc}{b+c}-0\right)^2 }^2}=  \frac{(b+c)^2}{b^2c^2}

Jak widać udowadniana równość zachodzi.

zapis bardziej formalny:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód na sumę kątów w trójkącie  metamatyk  3
 Dowód na twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa  Klinowski Irocent  1
 Jaki to trójkąt? Podane długości boków  iwcia100  3
 Trójkąt - Oblicz długość trzeciego boku  Tama  3
 Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokąt  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl