szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 12:21 
Użytkownik

Posty: 134
Czy jeżeli w trójkącie promień okręgu wpisanego jest 2 razy krótszy od opisanego, to ten trójkąt jest równoboczny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 12:47 
Moderator

Posty: 1893
Lokalizacja: Trzebiatów
Tak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 13:26 
Użytkownik

Posty: 134
Jak to pokazać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 21:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Coś mnie wzięło na wykorzystanie twierdzenia, które było do dowiedzenia w tym roku na finale konkursu PW. Mianowicie mówi ono, że potęga środka okręgu wpisanego względem okręgu opisanego równa jest 2Rr. Niech O, \ S będą środkami odpowiednio okręgu wpisanego i opisanego. Podstawiając założenie r=\frac{R}{2}:
R^2-|OS|^2=R^2\Leftrightarrow |OS|^2=0.
Widzimy więc, że środki okręgu wpisanego i opisanego się pokrywają. Taką własność ma jedynie trójkąt równoboczny.
Fajny dowód mi się udał :)

-- 20 kwi 2015, o 21:39 --

Inne rozwiązanie:
1)P=p\cdot r
2)P=\frac{abc}{4R}
3)R=2r
4)\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{a}{\sin \alpha}=2R=4r

Wyznaczając boki z 4) i wstawiając do 1):
P=2r^2(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma).
Korzystając z nierówności (\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)\le 3\sin(\frac{\alpha + \beta + \gamma}{3})=3\frac{\sqrt{3}}{2}:
P\le r^2 3\sqrt{3}.
Z drugiej strony:

P=pr=\frac{3r}{2}\cdot \frac{a+b+c}{3}\ge \frac{3r}{2}\cdot \sqrt[3]{abc}=\frac{3r}{2}\cdot \sqrt[3]{P\cdot 8r}. Stąd:

P^3\ge \frac{27r^3}{2}\cdot P\cdot 8r\Leftrightarrow P^2\ge 27r^4\Rightarrow P\ge r^2 3\sqrt{3}.

Zatem P=r^2 \cdot 3\sqrt{3}, ale ta równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a=b=c \wedge \sin \alpha=\sin \beta = \sin \gamma, a więc gdy trójkąt jest równoboczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2015, o 11:25 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Jak już mówimy o konkursie PW, to kiedyś padło tam za zadanie udowodnić twierdzenie Eulera:
\left| OI \right|^{2}=R^{2}-2Rr gdzie O,I są środkami okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt, zaś R,r promieniami tych okręgów.
Wniosek z tego twierdzenia jest następujący:
Jeśli R=2r to O=I, a stąd już łatwo pokazać, że trójkąt musi być równoboczny.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 trójkąt równoboczny - zadanie 3  sztuczne zęby  2
 Trójkąt równoboczny - zadanie 46  kasia260791  1
 trójkąt równoboczny - zadanie 28  milen_ka  2
 trójkat równoboczny - zadanie 6  darek20  1
 Trójkąt równoboczny - zadanie 45  wojtek993  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl