szukanie zaawansowane
 [ Posty: 24 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 15:30 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Jakim rodzajem trójkąta jest trójkąt, w którym środkowe dwóch boków zawierają się w dwusiecznych dwóch kątów wewnętrznych tego trójkąta?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 16:10 
Użytkownik

Posty: 1896
Lokalizacja: Warszawa
Jeżeli w trójkącie ABC środkowa z wierzchołka C jest jednocześnie dwusieczną, to jakie są względem siebie boki CA i CB? Narysuj to.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 19:29 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No nic nie możemy powiedzieć o bokach CA i CB bez dodatkowych założeń. To, że są równe też z tego nie wynika. Przynajmniej nie widzę. Przystawanie trójkątów z tego bynajmniej nie wynika. Brakuje jakiejś zależności o której nie wiem prawdopodbnie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 1896
Lokalizacja: Warszawa
Narysuj dowolny kąt o wierzchołku C i jego dwusieczną. Obierz na dwusiecznej punkt D i narysuj prostą AB zawierającą punkt D tak, aby odcinki DA i DB były równej długości. Ile takich prostych możesz narysować?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 19:50 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No dobra jedna. Ale wciąż z tego nie wynika, że |CA|=|CB|
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 19:58 
Użytkownik

Posty: 1896
Lokalizacja: Warszawa
A jaka jest ta jedna prosta AB w stosunku do CD ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 20:19 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Nie wiem. Nie widzę zależności. Przeprowadź cały tok rozumowania, bo inaczej to nie zczaję raczej.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 1896
Lokalizacja: Warszawa
AB prostopadła do CD
CA=CB
Druga środkowa=dwusieczna z wierzchołka A.
AC=AB=CB
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 20:58 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Ale zaraz. Skąd wiadomo, że AB prostopadła do CD?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 kwi 2015, o 06:58 
Użytkownik

Posty: 1896
Lokalizacja: Warszawa
Narysuj nie-prostopadłą i sprawdź, czy AD=DB
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 kwi 2015, o 11:38 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No to się wtedy pewnie nie równa, ale dalej nie wiem z czego to wynika. Powołaj się może na jakieś twierdzenie czy coś bo tak to...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 kwi 2015, o 12:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Skoro dwusieczna kąta \angle A zawiera się w środkowej boku BC, to oznaczając przez M środek boku BC, na podstawie twierdzenia o dwusiecznej:
\frac{|BM|}{|AB|}=\frac{|MC|}{|AC|}, ale |BM|=|MC|, stąd
|AB|=|AC|.
Skoro środkowe dwóch boków zawierają się w dwusiecznych, to mamy:
|AB|=|BC|=|AC|, czyli trójkąt \Delta ABC jest równoboczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 kwi 2015, o 14:46 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Aha czyli twierdzenie o dwusiecznej. Tu jest pies pogrzebany. Ale do tej pory w książce którą przerabiam nie było twierdzenia o dwusiecznej, a zatem czy ktoś mógłby podać dowód bardziej elementarny? Ewentualnie elementarny dowód twierdzenia o dwusiecznej. Jedyne twierdzenia jakie zostały wprowadzone to dwusieczna, wysokość, środkowa, izometria, symetria osiowa, przesunięcie równoległe, obrót itp.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 kwi 2015, o 15:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Elementarny dowód twierdzenia o dwusiecznej korzysta z pól trójkątów ABD, DCA, gdzie D to punkt przecięcia dwusiecznej \angle A z bokiem BC. Niech h będzie wysokością opuszczoną z wierzchołka A. Korzystając ze wzorów na pola:
\frac{P_{ABD}}{P_{DCA}}=\frac{\frac{1}{2}|BD|\cdot h}{\frac{1}{2}|DC|\cdot h}=\frac{|BD|}{|DC|},
\frac{P_{ABD}}{P_{DCA}}=\frac{\frac{1}{2}|AB|\cdot |AD|\cdot \sin \frac{\alpha}{2}}{\frac{1}{2}|AC|\cdot |AD|\cdot \sin \frac{\alpha}{2}}=\frac{|AB|}{|CA|}.
Stąd:
\frac{|AB|}{|CA|}=\frac{|BD|}{|DC|}.

-- 20 kwi 2015, o 15:12 --

A najelementarniej, będzie tak:
Niech D, E będą środkami odpowiednio AB, AC. Wiemy, że DE\parallel BC, bo DE jest linią środkową. Zauważmy, że kąty \angle CBE i \angle DEB są naprzemianległe. A więc \angle DBE=\angle CBE=\angle DEB \Rightarrow |DB|=|DE|. Analogicznie |DE|=|EC|. A więc |DB|=|EC|\Rightarrow |AB|=|AC|, a także |BC|=2\cdot |DE|= |AB|=|CA|, czyli trójkąt ABC jest równoboczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 kwi 2015, o 23:01 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Dzięki Michalinho za konkretny post, bo z tymi kobitami to ciężko się czasem dogadać... A wracając do tematu to czy nie możnaby tego zadania rozwiązać za pomocą przystawania trójkątów lub przekształceń izometrycznych? Bo w sumie w takim dziale książki to jest i poza tym nie było pojęcia linii środkowej jeszcze chociaż znam to pojęcie i faktycznie to tu zadziała, ale czy nie możnaby tego z przystawania trójkątów zrobić?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 24 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rodzaj trójkąta  darek20  0
 obliczanie obwodu trójkąta opisanego i inne.  KOTECZEK  3
 miary kątów trójkata równoramiennego  paaulla22  2
 szukany bok oraz kąty trójkąta  p0lis  8
 Boki trójkąta  jacekgo  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl