szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 18:07 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
Dana jest funkcja f(x)=x +  \frac{1}{x}. Która z liczb jest większa: f( \log _{5} 6) czy f(log_{5} 4)?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 18:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2782
Hm.. Możesz rozpisać to tak:
f( \log_{5} 6)= \log_{5} 6+\log_{6} 5 oraz f(\log_{5} 4)=\log_{5} 4+\log_{4} 5.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
Poszukujaca napisał(a):
Hm.. Możesz rozpisać to tak:
f( \log_{5} 6)= \log_{5} 6+\log_{6} 5 oraz f(\log_{5} 4)=\log_{5} 4+\log_{4} 5.

Hm. Próbowałem. Nic nie dawało to dalej. :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 20:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6199
Ja bym próbował tak:
Zakładam że f( \log _{5} 6)>f(\log_{5} 4)
\log _{5} 6+ \frac{1}{\log _{5} 6} > \log _{5} 4+ \frac{1}{\log _{5} 4}

\log _{5} 6-\log _{5} 4 > \frac{1}{\log _{5} 6} - \frac{1}{\log _{5} 4}
\log _{5} \frac{6}{4} > \frac{-\log _{5} \frac{6}{4}}{\log _{5} 6 \log _{5} 4}
Obustronnie dzielę przez dodatnie wyrażenie \log _{5} \frac{6}{4} uzyskując
1> \frac{-1}{\log _{5} 6 \log _{5} 4}
Mianownik ułamka zawiera iloczyn dwóch liczb dodatnich więc prawa strona jest ujemna (bo licznik jest ujemny), więc jest mniejsza od dodatniej strony lewej. Nierówność jest prawdziwa co pociąga za sobą prawdziwość założenia : f( \log _{5} 6)>f(\log_{5} 4)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
No tak, tylko że
\log _{5} 6 +  \frac{1}{ \log _{5} 6} > \log _{5} 4 + \frac{1}{ \log _{5} 4}  \Leftrightarrow \log _{5} 6 -  \log _{5} 4 >\frac{1}{ \log _{5} 4} - \frac{1}{ \log _{5} 6},

co nie jest równoważne z

\log _{5} 6 -  \log _{5} 4 > - \frac{1}{ \log _{5} 4} + \frac{1}{ \log _{5} 6}

Chyba że się mylę. :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 20:48 
Użytkownik

Posty: 2222
Lokalizacja: Warszawa
Sprawdźmy, czy zachodzi nierówność:

\log _{5} 6+ \frac{1}{\log _{5} 6}> \log _{5} 4+ \frac{1}{\log _{5} 4}

Jeśli zachodzi, to znaczy, że f( \log_{5} 6)>f( \log_{5} 4). A jeśli nierówność jest przeciwnego znaku, to znaczy, że f( \log_{5} 6)<f( \log_{5} 4)

\log _{5} 6+ \frac{1}{\log _{5} 6}> \log _{5} 4+ \frac{1}{\log _{5} 4}

Przenieś wszystko na jedną stronę, sprowadź do wspólnego i poprzekształcaj. Dostaniesz w końcu nierówność

\log _{5}  \frac{6}{4}\left( \log _{5} 6 \cdot \log _{5} 4-1\right)>0

\log _{5}  \frac{6}{4}>0

Łatwo na kalkulatorze policzysz, że \log _{5} 6 \cdot \log _{5} 4-1>0

A zatem

f( \log_{5} 6)>f( \log_{5} 4)

Chyba, że się gdzieś rąbnąłem... :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
Dilectus napisał(a):
Sprawdźmy, czy zachodzi nierówność:

\log _{5} 6+ \frac{1}{\log _{5} 6}> \log _{5} 4+ \frac{1}{\log _{5} 4}

Jeśli zachodzi, to znaczy, że f( \log_{5} 6)>f( \log_{5} 4). A jeśli nierówność jest przeciwnego znaku, to znaczy, że f( \log_{5} 6)<f( \log_{5} 4)

\log _{5} 6+ \frac{1}{\log _{5} 6}> \log _{5} 4+ \frac{1}{\log _{5} 4}

Przenieś wszystko na jedną stronę, sprowadź do wspólnego i poprzekształcaj. Dostaniesz w końcu nierówność

\log _{5}  \frac{6}{4}\left( \log _{5} 6\log _{5} 4-1\right)>0

A teraz łatwo na kalkulkatorze policzysz, że \log _{5} 6\log _{5} 4-1>0

A zatem

f( \log_{5} 6)>f( \log_{5} 4)

Chyba, że się gdzieś rąbnąłem... :)

Nieźle. Ale da się to zrobić tak, by do końca było bez kalkulatora? xD
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2015, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 2222
Lokalizacja: Warszawa
Cytuj:
Nieźle. Ale da się to zrobić tak, by do końca było bez kalkulatora? xD


Myślę nad tym. :)

-- 19 kwi 2015, o 21:33 --

Cytuj:
Łatwo na kalkulatorze policzysz, że \log _{5} 6 \cdot \log _{5} 4-1>0
A zatem

f( \log_{5} 6)>f( \log_{5} 4)

Chyba, że się gdzieś rąbnąłem... :)


I właśnie się rąbnąłem

\log _{5} 6  \cdot \log _{5} 4 \approx 0,96

A więc

\log _{5} 6 \cdot \log _{5} 4-1<0

Czyli

f( \log_{5} 6)<f( \log_{5} 4)

Chyba nie umiem liczyć na kalkulatorze. Przepraszam. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.  Anja  4
 Badanie różnowartościowości funkcji.  Anonymous  1
 Badanie parzystości funkcji.  jackass  5
 Wyznaczanie asymptot funkcji f(x)=sqrt(x^2+x+1)-1-(1/x)  bartekf  1
 Ekstremum funkcji y=(1/x)+5arctgx  Lukraft  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl