szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2015, o 15:27 
Użytkownik

Posty: 184
Cześć, proszę o sprawdzenie rozwiązania i ewentualne poprawienie błędów.

Zadanie.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między ścianą boczną a podstawą jest równy \alpha. Oblicz cosinus kąta między ścianami bocznymi.


Niech ten cosinus nazywa się \cos  \beta, krawędź podstawy niech będzie równa a, wysokość ostrosłupa H, wysokość ściany bocznej h

Szukany przekrój to jedna krawędź podstawy i wysokości sąsiednich ścian bocznych i będzie to trójkąt równoramienny a szukany \cos \beta na końcu obliczę z tw. cosinusów.

Z trójkąta prostokątnego który zawiera kąt \alpha obliczam wartość H =  \frac{ \sqrt{3}a }{6} \tg \alpha a następnie wartość h^{2} =  \frac{a^{2}(\tg^{2}\alpha + 1)}{12}.
Wstawiam to do tw. cosinusów w trójkącie zawierającym \cos \beta:

a^{2} = (2 \cdot \frac{a^{2}(\tg^{2}\alpha + 1)}{12})(1 - \cos \beta)  \Rightarrow \cos \beta =  \frac{\tg^{2}\alpha-5}{\tg^{2}\alpha+1}
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 kwi 2015, o 16:27 
Użytkownik

Posty: 66
Wziąłeś pod uwagę chyba nie to h, ściany bocznej co trzeba.. tylko to prostopadłe do krawędzi podstawy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2015, o 12:10 
Użytkownik

Posty: 184
Teraz to zauważyłem że podstawiłem do tw. cosinusów nie tą wysokość co trzeba. Czyli muszę jeszcze obliczyć krawędź boczną b i dopiero potem z tego \frac{ah}{2}=\frac{h_{b}b}{2} obliczam tą potrzebną w zadaniu wysokość...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 kwi 2015, o 12:34 
Użytkownik

Posty: 66
Tak :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2015, o 01:22 
Użytkownik

Posty: 3211
Lokalizacja: Kraków PL
Kąt \beta między ściana bocznymi Twojego ostrosłupa jest kątem trójkąta powstałego przez przecięcie ostrosłupa płaszczyzną normalną do krawędzi bocznej i przechodzącą przez przeciwległy do niej bok podstawy. Trójkąt ten jest równoramienny. Oznaczmy przez h_n wysokość tego trójkąta poprowadzona pomiędzy równymi bokami.
Dodatkowo oznaczymy przez H wysokość ostrosłupa, przez h_p wysokość trójkąta będącego podstawa ostrosłupa, przez a bok tej podstawy, a przez \gamma kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

Zadanie sprowadza się do znalezienia zależności:

    \cos\beta=f(\alpha)

Mamy:

    \tg\frac{\beta}{2}=\frac{a}{2h_n}=\frac{a}{2h_p\sin\gamma}=\frac{a}{2\frac{\sqrt{3}}{2}a\sin\gamma}=\frac{1}{\sqrt{3}\sin\gamma}

i podstawiamy do tożsamości:

    \cos\beta=\frac{1-\tg^2\frac{\beta}{2}}{1+\tg^2\frac{\beta}{2}}=\frac{3\sin^2\gamma-1}{3\sin^2\gamma+1}

Wykorzystujemy tożsamość:

    \sin^2\gamma=\frac{1-\cos2\gamma}{2}

i mamy:

    \cos\beta=\frac{1-3\cos2\gamma}{5-3\cos2\gamma}

Ponieważ z wysokości ostrosłupa:

    H=\frac{1}{3}a\tg\alpha=\frac{2}{3}a\tg\gamma\quad\Rightarrow\quad tg\gamma=\frac{1}{2}\tg\alpha

to podstawiając mamy:

    cos2\gamma=\frac{1-\tg^2\gamma}{1+\tg^2\gamma}=\frac{4-\tg^2\alpha}{4+\tg^2\alpha}

a po podstawieniu do wzoru wyprowadzonego wcześniej:

    \cos\beta=\frac{4\tg^2\alpha-8}{8\tg^2\alpha+8}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 sty 2017, o 20:26 
Użytkownik

Posty: 16213
Mam prostszy wynik

Oznaczenia jak na rysunku.

Wyznaczam |OD|
h_p - wysokości trójkąta będącego podstawą

h_p= \frac{a\sqrt{3}}{2}

|OD|=\frac{1}{3}h_p

|OD|=\frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}

|OD|=\frac{a\sqrt{3}}{6}

Wyznaczam wysokość ściany bocznej
cos\alpha= \frac{|OD|}{h_s}

cos\alpha= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{h_s}

h_s= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{cos\alpha}

h_s= \frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}

Wyznaczam krawędź boczna
k^2=\left( \frac{1}{2}a \right)^2+h_s^2

k^2=\frac{1}{4}a^2+\left( \frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}\right)^2

k^2=\frac{1}{4}a^2+\frac{3a^2}{36cos^2\alpha}

k^2=\frac{9a^2cos^2\alpha}{36cos^2\alpha}+\frac{3a^2}{36cos^2\alpha}

k^2=\frac{9a^2cos^2\alpha+3a^2}{36cos^2\alpha}

k^2=\frac{a^2(9cos^2\alpha+3)}{36cos^2\alpha}

k= \sqrt{\frac{a^2(9cos^2\alpha+3)}{36cos^2\alpha}}

k= \frac{a \sqrt{9cos^2\alpha+3} }{6cos\alpha}

Wyznaczam h
\frac{kh}{2}=\frac{ah_s}{2}

kh=ah_s

\frac{a \sqrt{9cos^2\alpha+3} }{6cos\alpha}h=a\frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}\ / \cdot 6cos\alpha

a \sqrt{9cos^2\alpha+3}h=a^2\sqrt{3}\ /:a \sqrt{9cos^2\alpha+3}

h= \frac{a \sqrt{3} }{\sqrt{9cos^2\alpha+3}}

h= \frac{a \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \sqrt{3cos^2\alpha+1}}

h= \frac{a}{\sqrt{3cos^2\alpha+1}}

Obliczam cos\beta
(z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BCE)

a^2=h^2+h^2-2h^2cos\beta

2h^2cos\beta=h^2+h^2-a^2

2h^2cos\beta=2h^2-a^2\ /:2h^2

cos\beta=1- \frac{a^2}{2h^2}

cos\beta=1- \frac{a^2}{2\left(\frac{a}{\sqrt{3cos^2\alpha+1}}\right)^2 }

cos\beta=1- \frac{a^2}{\frac{2a^2}{3cos^2\alpha+1}}}

cos\beta=1- \frac{3cos^2\alpha+1}{2}

cos\beta= \frac{2-3cos^2\alpha-1}{2}

cos\beta= \frac{1-3cos^2\alpha}{2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Promień kuli w i na ostrosłupie  Belv  1
 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym  szóstka  1
 2 zadania - kąt między przkątnymi i pole przekroju  tenner  3
 Kąt między ścianami bocznymi  angel10  1
 Kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi (zaznaczyć)  lukratyw123  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com