szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2015, o 17:58 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Wrocław
Proszę, pomóżcie mi popchnąć to zadanie do przodu.

Dany jest trójkąt równoboczny ABC wpisany w okrąg. Punkt P leży na krótszym łuku AC. Wykaż, że |PB|=|PA|+|PC|.

Narysowałem rysunek oznaczyłem sobie odcinki, ale nie umiem zauważyć oczywistości.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2015, o 18:10 
Użytkownik

Posty: 191
Gdy narysujesz ocinki PA i PC to otrzymasz czworokąt ABCP wpisany w okrąg. Co mozesz powiedziec o tym czworokącie?
Po za tym możesz wyznaczyc wiele roznych katow korzystajac z tego ze sa to katy wpisane w okrag.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2015, o 18:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Zauważ, że \angle BPA=\angle BCA=60^\circ i podobnie \angle CPB=60^\circ. Obróćmy trójkąt \Delta BPA o 60^\circ względem punktu B zgodnie ze wskazówkami zegara. Wtedy otrzymamy trójkąt równoboczny BPP', a więc |PB|=|PP'|=|PC|+|CP'|=|PC|+|AP|.

Można też skorzystać z twierdzenia Ptolemeusza:
|PB|\cdot |AC|=|PA|\cdot |BC|+|PC|\cdot |AB| \Leftrightarrow |PB|=|PC|+|PA|
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2015, o 18:28 
Moderator

Posty: 1976
Lokalizacja: Trzebiatów
Bardzo fajnie idzie z Ptolemeusza, jak podkreślił Michalinho.
Jak się nie ma pomysłu, to zawsze można standardowo, np. z cosinusów dla trójkątów PCB, APB i kątów o wartościach 60 stopni w tych trójkątach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2015, o 18:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Można też z podobieństwa.
Niech X=AC\cap PB. Wtedy masz podobieństwa:
\Delta PBC,  \Delta CBX oraz \Delta PBA,  \Delta ABX i stąd:

\frac{PC}{PB}=\frac{CX}{BC} i \frac{PA}{PB}=\frac{AX}{AB}.

Wystarczy dodać i skorzystać z tego, że \Delta ABC jest równoboczny:

\frac{PA+PC}{PB}=\frac{CX}{AC}+\frac{AX}{AC}=1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trojkat wpisany w okrag - zadanie 2  Adaśko  1
 Trójkąt wpisany w okrąg - zadanie 29  lusieq  11
 Trójkąt wpisany w okrąg - zadanie 36  rabbitvon  3
 Trójkąt wpisany w okrąg - zadanie 14  mememo  2
 trójkąt wpisany w okrąg - zadanie 25  ANDZIAB_ID  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl