szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2015, o 00:51 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Łódź
Witam was.

Mam problem z takim zadaniem:
W trójkącie ABC punkty D, E leżą odpowiednio na bokach AB i AC tak, że |AD|:|DB| = 1:2 oraz |AE|:|EC|=2:1. Udowodnij, że |EF|:|FB|=1:6

Rysunek poglądowy i moje bazgroły:
http://i.imgur.com/Twjko4D.png

Coś tam próbowałem ale niestety nie jestem w stanie nic konstruktywnego wymyślić.

Dziękuję z góry za pomoc,
Viters
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2015, o 08:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Nie wiem czy znasz twierdzenie Cevy i van Aubela, ale z tego szybko idzie.
Niech X=AF\cap BC. Z twierdzenia Cevy \frac{|BX|}{|XC|}=4.
Z twierdzenia van Aubela: \frac{|BF|}{|FE|}=\frac{|BD|}{|DA|}+\frac{|BX|}{|XC|}=6\Rightarrow |EF|:|FB|=1:6.

Jeśli nie chcesz korzystać z tych twierdzeń, to wiem, że na pewno idzie to z pól, bo kiedyś to robiłem.

EDIT:
W taki sposób z pól:
Oznaczmy pole trójkątów ABC, CEF, ADF odpowiednio przez P, R, S.
Wtedy P_{CAD}=3R+S=\frac{1}{3}P. Ale P_{ABE}=\frac{2}{3}P=2\cdot P_{CAD}=6R+2S.
Stąd:
P_{BDF}=P_{ABE}-P_{ADF}-P_{AEF}=6R+2S-S-2R=4R+S. Wiemy też, że:
P_{BDF}=2\cdot P_{ADF}=2S\Rightarrow 4R=S.
Ponadto P_{BDC}=\frac{2}{3}P=P_{ABE}\Rightarrow P_{CFB}=P_{AEFD}=2R+S=6R.
A więc:
\frac{|EF|}{|FB|}=\frac{P_{CEF}}{P_{CFB}}=\frac{R}{6R}\Rightarrow |EF|:|FB|=1:6
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2015, o 11:25 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Łódź
Dzięki wielkie!

Ogarnąłem też przy okazji te twierdzenia, które podałeś, więc rozumiem oba rozwiązania.

Oczywiście +pomógł.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 stosunek odcinków w trójkącie  robin5hood  1
 Stosunek h (do przeciwprost.) trójkąta prostokątnego do obw  tooooomasz  4
 wysokości i środkowe w trójkącie  asik13m  1
 Kwadrat w trójkącie ...  kolanko  2
 W trójkącie poprowadzono odcinki, takie, że...  *Kasia  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl