szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2015, o 08:02 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Polska
Znalazłem wzór na pole n-kąta o danych wierzchołkach A _{1}(x _{1};y _{1}), A _{2}(x _{2};y _{2}), ..., A _{n}(x _{n};y _{n}):
P =  \frac{1}{2}  \cdot \left| \begin{vmatrix} x _{1}&y _{1}\\x _{2}&y _{2}\end{vmatrix}  +  \begin{vmatrix} x _{2}&y _{2}\\x _{3}&y _{3}\end{vmatrix}  + ... +  \begin{vmatrix} x _{n}&y _{n}\\x _{1}&y _{1}\end{vmatrix} \right|

Dla trójkąta go udowodniłem.
Dla czworokąta udowodniłem go jedną metodą, natomiast drugą, przedstawioną tutaj, nie mogę go udowodnić.

Dla czworokąta wzór ten brzmi:
P =  \frac{1}{2}  \cdot \left| \begin{vmatrix} x _{1}&y _{1}\\x _{2}&y _{2}\end{vmatrix}  +  \begin{vmatrix} x _{2}&y _{2}\\x _{3}&y _{3}\end{vmatrix}  + \begin{vmatrix} x _{3}&y _{3}\\x _{4}&y _{4}\end{vmatrix} +  \begin{vmatrix} x _{4}&y _{4}\\x _{1}&y _{1}\end{vmatrix} \right| (wzór (*) )

Chciałem udowodnić ten wzór dla czworokąta A _{1}A _{2}A _{3}A _{4}, dzieląc go na dwa trójkąty: A _{1}A _{2}A _{3} oraz A _{1}A _{4}A _{3}.
Mój czworokąt jest zbudowany na wektorach:
\vec{A _{1}A _{2}} = \left[ x _{12};y _{12}  \right] = \left[ \left( x _{2} - x _{1}\right) ;\left( y _{2} - y _{1}\right)  \right]
\vec{A _{2}A _{3}} = \left[ x _{23};y _{23}  \right] = \left[ \left( x _{3} - x _{2}\right) ;\left( y _{3} - y _{2}\right)  \right]
\vec{A _{3}A _{4}} = \left[ x _{34};y _{34}  \right] = \left[ \left( x _{4} - x _{3}\right) ;\left( y _{4} - y _{3}\right)  \right]
\vec{A _{4}A _{1}} = \left[ x _{41};y _{41}  \right] = \left[ \left( x _{1} - x _{4}\right) ;\left( y _{1} - y _{4}\right) \right]
, gdzie
x _{ij} = x _{j} - x _{i},
y _{ij} = y _{j} - y _{i}

Otrzymałem więc
P = P _{A _{1}A _{2}A _{3}} + P _{A _{1}A _{4}A _{3}} = \\
=  \frac{1}{2}  \cdot  \begin{vmatrix} x _{12}&y _{12}\\x _{13}&y _{13}\end{vmatrix}
+ \frac{1}{2}  \cdot  \begin{vmatrix} x _{14}&y _{14}\\x _{13}&y _{13}\end{vmatrix} = \\
= \frac{1}{2}  \cdot  \begin{vmatrix} \left( x _{12} + x _{14} \right) &\left( y _{12} + y _{14} \right) \\x _{13}&y _{13}\end{vmatrix}

Dalej, po rozpisaniu, wymnożeniu i pogrupowaniu wyrazów, otrzymuję wyrażenie
P =  \frac{1}{2}  \cdot \left| \begin{vmatrix} x _{1}&y _{1}\\x _{2}&y _{2}\end{vmatrix}  +  \begin{vmatrix} x _{2}&y _{2}\\x _{3}&y _{3}\end{vmatrix}  + \begin{vmatrix} -x _{3}&-y _{3}\\x _{4}&y _{4}\end{vmatrix} +  \begin{vmatrix} -x _{4}&-y _{4}\\x _{1}&y _{1}\end{vmatrix} + 2  \cdot \begin{vmatrix} x _{1}&y _{1}\\x _{3}&y _{3}\end{vmatrix}   \right|
i nijak nie mogę z niego otrzymać wzoru (*).

Coś zrobiłem nieprawidłowo? Dlaczego nie otrzymałem poprawnego wyniku?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2015, o 14:38 
Moderator

Posty: 4292
Lokalizacja: Kraków PL
Popraw \vec{A _{4}A _{1}} (przycisk Edytuj) oraz usuń „, ” przed i dodaj „:” po gdzie.

Nie wiem, na czym polega pierwsza metoda, ale w tej drugiej powinieneś obliczyć pole trójkąta A_1A_3A_4 zamiast pola trójkąta A_1A_4A_3. Kolejność wierzchołków ma znaczenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2015, o 05:40 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Polska
Dzięki za odpowiedź.

1.
Nie rozumiem, dlaczego kolejność wierzchołków ma znaczenie.
Czy tylko dlatego, że
\begin{vmatrix} x _{12}&y _{12}\\x _{13}&y _{13}\end{vmatrix}  \neq \begin{vmatrix} x _{13}&y _{13}\\x _{12}&y _{12}\end{vmatrix} ?
(A konkretniej, zachodzi \begin{vmatrix} x _{12}&y _{12}\\x _{13}&y _{13}\end{vmatrix}  = (-1) \cdot  \begin{vmatrix} x _{13}&y _{13}\\x _{12}&y _{12}\end{vmatrix} )
Jest na to jakieś wytłumaczenie typu że jesteśmy w układzie prostokątnym prawoskrętnym, więc wierzchołki numerujemy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara?

2.
Nadal nic mi Twoja odpowiedź nie pomogła w dojściu do wzoru (*), wychodząc od pole czworokąta jako sumy pól dwóch trójkątów :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2015, o 07:35 
Moderator

Posty: 4292
Lokalizacja: Kraków PL
Pole trójkąta, to połowa iloczynu wektorowego dwóch boków, przy czym oba wektory wychodzą z jednego wierzchołka i pierwszy wektor jest po lewej stronie drugiego. Jeśli chcemy, aby pola trójkątów składowych miały ten sam znak, to orientacja tych wektorów we wszystkich trójkątach była taka sama.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzór na odległość punktu od prostej, odległość prost  Anonymous  1
 Wzór na obliczenie stycznej sfery w przestrzenii  ruben  12
 Wzór na prostą pokrywającą się z wektorem  Anonymous  3
 Oblicz pole kwadratu ograniczonych prostymi o równaniach  Anonymous  1
 Pole i obwod trapezu , równanie prostej  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl