szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 maja 2015, o 20:36 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Koło
Witam.
Mam problem z rozwiązaniem rekurencji:
a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_{n}, gdzie n \ge 0, a_{0}=2, a_{1}=3.

Dotąd udało mi się napisać (nie wiem czy dobrze)
f(x)= \sum_{n=0}^{\infty}  a_{n}   x^{n} =  a_{0}  x^{0} + a_{1} x^{1} + \sum_{n=2}^{\infty} = 2 + 3x + \sum_{n=0}^{\infty}  a_{n+2}  x^{n+2} = 2 + 3x + \sum_{n=0}^{\infty} (3a_{n}+4{a_n})x^{n+2} = 2+3x+2 \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n+1} x^{n+2}) = 2+3x+3x \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n+1}x^{n+1})+3x \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n+1}x^{n+1})+4x^2 \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n} x^{n}).

Prosiłbym o sprawdzenie i wyjaśnienie krok po kroku, żebym mógł zobaczyć jak wzorcowo powinno się to robić :-).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2015, o 20:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
A to nie prościej pojechać równaniem charakterystycznym? t^{2}-3t-4=0, pierwiastki
-1 i 4, więc szukamy rozwiązania postaci a_{n}=\alpha(-1)^{n}+\beta4^{n}, tworzymy układ równań na \alpha i \beta, korzystając z podanych warunków początkowych i po herbacie.
Metoda funkcji tworzących jest tu moim zdaniem mniej wygodna, ale może to kwestia gustu.

Można też trochę inaczej: dodajmy do obydwu stron równania a_{n+1}, a wtedy otrzymamy, że a_{n+1}+a_{n+2}=4(a_{n+1}+a_{n}).
Teraz niech b_{n}=a_{n+1}+a_{n}. Wtedy zgodnie z powyższym mamy b_{n+1}=4b_{n}, więc (b_{n})_{n \in \NN} jest ciągiem geometrycznym. Łatwo znaleźć jego ogólną postać, a następnie wystarczy zauważyć, że a_{n+2}-a_{n}=b_{n+1}-b_{n} i coś tam, coś tam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 maja 2015, o 22:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6635
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_{n}, gdzie n \ge 0, a_{0}=2, a_{1}=3.

Z funkcji tworzących więcej widać
Co gdyby miał pierwiastek wielokrotny albo równanie niejednorodne ?


Ja przesunąłbym najpierw indeksy tej rekurencji

a_{n}=3a_{n-1}+4a_{n-2}\qquad n\ge 2\qquad a_{0}=2\\a_{1}=3\\
A\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}= \sum_{n=2}^{ \infty }{3a_{n-1}x^{n}}+ \sum_{n=2}^{ \infty }{4a_{n-2}x^{n}}\\
  \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-3x-2=3x\left(  \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}} \right) +4x^2\left(  \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2}x^{n-2} \right) \\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-3x-2=3x\left(  \sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right) +4x^2\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} \right) \\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-3x-2=3x\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -2\right) +4x^2\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} \right) \\
A\left( x\right)-3x-2=3x\left( A\left( x\right)-2 \right)+4x^2A\left( x\right) \\
A\left( x\right)-3x-2=3xA\left( x\right)-6x+4x^2A\left( x\right)\\
A\left( x\right)\left( 1-3x-4x^2\right)=-3x+2\\
A\left( x\right)=\frac{-3x+2}{\left( 1-4x\right)\left( 1+x\right)  }\\
A\left( x\right)=\frac{P}{1-4x}+\frac{Q}{1+x}\\
P\left( 1+x\right)+Q\left( 1-4x\right)=-3x+2\\
 \begin{cases} P+Q=2 \\ P-4Q=-3 \end{cases}  \\
 \begin{cases} P=2-Q \\ 5Q=5 \end{cases}  \\
 \begin{cases} P=1 \\ Q=1 \end{cases}   \\
A\left( x\right)=\frac{1}{1-4x}+\frac{1}{1-\left(-x \right) }\\      
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{4^nx^n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^nx^n }  \\
a_{n}=4^{n}+\left( -1\right)^{n}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rozwiązanie rekurencji  rozprzedstud  2
 Rozwiazanie rekurencji - zadanie 3  yooko34  6
 Rozwiązanie w liczbach naturalnych  oszust001  1
 rozwiązanie rownania z silnia  sruba133  1
 Metoda wielomianowa rekurencji  ixi2014  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl