szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2015, o 22:18 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Police
Stwierdziłem, że to problem bardziej matematyczny niż fizyczny dlatego piszę w tym dziale.
Dostałem za zadanie udowodnić, że krzywa Lissajous złożona z drgań o tej samej częstotliwości będzie elipsą, czyli wykazać, że krzywa dana równaniem parametrycznym:
{\begin{cases}x=A \cdot \sin  \left( t \right)   \\ y=B \cdot \sin  \left( t+k \right)  \end{cases}
opisuje elipsę.
Równanie elipsy dane jest wzorem:
\frac{ x^2 }{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1
Jednak opisuje to tylko elipsę, której półosie pokrywają się z osiami układu współrzędnych, a elipsa z krzywych Lissajous zwykle jest obrócona o jakiś kąt (o ile nie zawsze). Znalazłem gdzieś równanie elipsy opisujące dowolny przypadek, ale to taka kobyła była, że odstraszała przed podstawianiem. Spróbowałem więc z równaniem parametrycznym:
\begin{cases} x=a \cdot \cos t \\ y=b \cdot \sin t \end{cases}
Tak samo opisuje elipsę jak poprzedni układ, więc obracając o kąt alfa mamy:
\begin{cases} x=a \cdot \cos t \cdot \cos \alpha-b \cdot \sin t \cdot \sin \alpha   \\ y=a \cdot \cos t \cdot \sin \alpha +b \cdot \sin t \cdot \cos \alpha  \end{cases}
I teraz pytanie: jak doprowadzić pierwszy układ do postaci takiej jak powyższy? Przekształcenia prowadzą mnie w jakiś ślepy zaułek. Czy może jest jakiś łatwiejszy sposób?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2015, o 00:50 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
U ciebie A i B to amplitudy sygnałów, k – to kąt przesunięcia fazowego. Dla k=0 krzywa będzie odcinkiem, dla k=\pm\pi/2 – elipsą o osiach równoległych do osi układu współrzędnych. W każdym innym przypadku krzywą będzie „skośna” elipsa - właśnie taka, o którą Ci chodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2015, o 10:57 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Police
To wiem. Tylko problem w tym, jak to udowodnić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2015, o 11:51 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Być może wykorzystując:

    \tg\alpha=-\frac{B}{A}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Osie i środek elipsy  loure  0
 Znaleźć punkt przecięcia normalnej do elipsy  Robert68  4
 wyprowadzenie wzoru na odległość punktu od płaszczyzny  aGabi94  4
 znaleźć równanie elipsy przechodzącej przez  patrycja2102  1
 Wyznaczenie stycznej do elipsy.  Robsonmen  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl