szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2015, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: Rawa
Mam do rozwiązanie równanie T _{n} =2nT _{n-1} -10n +5

Postanowiłem rozwiązać je za pomocą funkcji tworzących. Jak udało mi się ustalić,
muszę użyć funkcji f(x) =  \frac{T _{n} }{n!}x ^{n}

Udało mi się dojść do momentu:

f(x) =  \sum_{ n=0 }^{\infty }  \frac{2nT _{n-1} -10n +5 }{n!} x ^{n} = 5 + \sum_{ n=1 }^{\infty }  \frac{2nT _{n-1} }{n!} x ^{n} - 10 \sum_{ n=1 }^{\infty } \frac{n }{n!} x ^{n} + 5 \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{x ^{n}  }{n!}

Niestety dalej zgubiłem się i nie wiem jak z tego otrzymać coś sensownego.

//EDIT

Udało mi się z tego wyprowadzić równanie:

f(x) = 2xf(x) + e ^{x} (5-10x) => f(x)=5e ^{x} = \sum_{ n=0}^{\infty}  \frac{5x ^{n} }{n!}

A więc T _{n} = 5 czy coś sknociłem?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2015, o 18:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
T _{n} =2nT _{n-1} -10n +5\\
f\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{ \frac{T_{n}}{n!} x^{n}}\\
 \sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{T_{n}}{n!}x^{n}}=\sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{2nT_{n-1}}{n!}x^{n}}- 10\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{n}{n!}x^{n}}\right) +5\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{1}{n!}x^{n}}\right) \\
f\left( x\right)-T_{0}=2x\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{T_{n-1}}{\left( n-1\right)! }x^{n-1}}\right)-10x\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{1}{\left( n-1\right) !}x^{n-1}}\right)+5\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{1}{n!}x^{n}}-1\right)\\
f\left( x\right)-T_{0}=2x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{T_{n}}{ n! }x^{n}}\right)-10x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{1}{ n !}x^{n}}\right)+5\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{1}{n!}x^{n}}-1\right)\\
f\left( x\right)-T_{0}=2xf\left( x\right)-10xe^{x}+5e^{x}-5\\
f\left( x\right)\left( 1-2x\right)=T_{0}-5+\left( 5-10x\right)e^{x}\\
f\left( x\right)=\frac{T_{0}-5}{1-2x}+5e^{x}\\
f\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( T_{0}-5\right) 2^{n}n! \cdot  \frac{x^{n}}{n!} }+ \sum_{n=0}^{ \infty }{5 \cdot \frac{x^n}{n!}}\\
T_{n}=\left( T_{0}-5\right) 2^{n}n!+5\\

Tutaj nawet ładnie się poskracało , inaczej współczynniki musiałbyś liczyć albo z iloczynu Cauchyego
szeregów albo z n. pochodnej w zerze
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2015, o 19:35 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: Rawa
Hmmmm, a dlaczego w czwartej linijce dodałeś wyrażenie T _{0}? Czy ono nie będzie u ciebie równe po prostu 5? Wybacz, ale nie rozumiem tego kroku. Gdyby nie on, powiedziałbym, że rozwiązałem tak samo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2015, o 20:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Rekurencja zachodzi dla n \ge 1
Aby dostać jednoznaczną odpowiedź powinieneś mieć T_{0} podane
Tutaj nie podałeś T_{0} więc przyjąłem że jest to stała
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2015, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: Rawa
No tak, teraz wszystko jasne :) Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 równanie - zadanie 4  fishman4  2
 Rozwiąż równanie z silnią  kuzio87  1
 równanie z silnią  rObO87  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl