szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2015, o 11:09 
Użytkownik

Posty: 293
Lokalizacja: Warszawa
Mógłby ktoś powiedzieć jak się wyprowadza równanie parametryczne asteroidy :

\sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{y^2}= \sqrt[3]{a^2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 maja 2015, o 18:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6631
Asteroida to krzywa opisująca ruch punktu okręgu o promieniu r toczącego się wewnątrz okręgu o promieniu 4r.

obrazek:    

Tor tego punktu jest złożeniem dwóch ruchów: (1) obrotu środka małego okręgu po okręgu o promieniu 3r przeciwnie do wskazówek zegara oraz (2) obrotu małego okręgu wokół własnego środka zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Łatwo zauważyć że obrotowi środka okręgu o pewien kąt odpowiada obrót małego okręgu o kąt trzy razy większy.
Opis pierwszego (1) ruchu w postaci biegunowej to:
x _{1} =3r\cos \alpha  \ \ \wedge \ \ y _{2} =3r\sin \alpha
a drugiego (2):
x _{2} =r\cos (-3\alpha )  \ \ \wedge \ \ y _{2} =r\sin (-3 \alpha )
Ich złożenie daje opis toru po jakim porusza się wybrany punkt małego okręgu:
x=x _{1}+x _{2}  \ \ \wedge \ \ y=y_{1}+y _{2}
x  =3r\cos \alpha + r \cos 3 \alpha   \ \ \wedge \ \ y =3r\sin \alpha-r\sin 3 \alpha \\
x=4r\cos ^3 \alpha \ \ \wedge \ \ y=4r\sin ^3 \alpha
Ostatni układ jest równaniem parametrycznym asteroidy.
Wyliczając z niego obie funkcje trygonometryczne
\cos  \alpha = \sqrt[3]{ \frac{x}{4r} }   \ \ \wedge \ \ \sin\alpha = \sqrt[3]{ \frac{y}{4r} }
i wstawiając je do jedynki trygonometrycznej uzyskuje się postać:
\left( \sqrt[3]{ \frac{x}{4r} }\right) ^2+\left( \sqrt[3]{ \frac{y}{4r} }\right) ^2=1 \\  \sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{y^2}= \sqrt[3]{(4r)^2}
która przy a=4r daje Twoje równanie asteroidy.
Stąd też postać parametryczna zawierająca parametr a :
x=a\cos ^3 \alpha \ \ \wedge \ \ y=a\sin ^3 \alpha
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie parametryczne  marcinn12  3
 Rownanie parametryczne  LastSeeds  4
 Równanie parametryczne - zadanie 2  Bartek1991  1
 Rownanie parametryczne - zadanie 2  knachu85  1
 równanie parametryczne - zadanie 3  asiula0321  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl